Сборник задач по общему курсу физики - Волькенштейн В.С.
Скачать (прямая ссылка):
12.28. Т =0,93 с. -
12.29. На плавающий ареометр действуют сила тяжести (вниз) и сила Архимеда (вверх). Поэтому в равновесии mg = pg (K + S/г), где (K + S/г)—часть объема ареометра, находящаяся в жидкости. Если погрузить ареометр на глубину х, то результирующая выталкивающая сила .
F = pg[V + S(h + x)]—mg =
= Pg [ V + S (h + *)] — P? (У + Sh) = pgS* = kx,
где k = pgS. Так как T = 2я Vm/k, го
„ 4 f тл 16ят , , ,
Т V "pg* 0Ткуда P=y252j-==0’89,10 кг/м •
12.30. д: = 3,7 sin ^ см.
12.31. Л = 4,6 см; ф = 62°46'.
12.32. ф2—ф^ = 2я/3.
12.33. Л = 5 см; ф = 36°52' « 0,2я; я = 5 sin (я< + я/5) см.
12.34. Из спектра сложного колебания (рис. 61) видно, что первое колебание имеет амплитуду <41 = 0,03 м и частоту Vj = 0,2 Гц, второе — /42 = 0,02 м и v2 = 0,5 Гц и третье — /43 = 0,01 м и v3 = l Гц. Таким образом, уравнения этих колебаний будут следующие:
2я
х= 0,03 sin t м, х = 0,02sin я< м, дг = 0,01 sin 2я< м,
о
На рис. 105 даны качественные графики этих колебаний. Учащимся предлагается составить таблицы x=f(t) для всех этих колебаний и найти график результирующего колебания, сложив ординаты синусоид для ряда точек на оси абсцисс.
338
12.35. На рис. 106 изображен спектр результирующего колебания.
12.36. Имеем
х= A sin 2nvLt, А = А0 (1 -f-cos 2jiv2/).
Подставляя второе уравнение в первое, получим х = А0 (1 + cos 2jiv20 sin 2nvt^= Л0 sin 2nvlt-{-A0 oos sin 2nvt/ =
= A0 sin 2nv1t-\--~' sin [2л (Vi—v2) <]+-y- sin [2я (vj + v2) <].
Таким образом, рассматриваемое колебание может быть разложено на сумму трех гармонических Колебательных движений с частотами
Vf, Vf—v2 и Vi-fv2 и с амплитудами Ав, А0/2 и ’А0/2. Амплитуда результирующего колебания будет меняться во времени. Такого рода колебание уже не представляет собой гармонического колебательного движения и называется модулированным колебанием.
12.37. При сложении двух взаимно перпендикулярных колебаний одинакового периода уравнение траектории результирующего колебания имеет вид
у2 2 хо
~7г'\"~Гг—1Г"Х cos (Фа—Ф1) =Sin2 (ф2 — Ф1). (1)
А\ At ^1^2
Так как у нас ф2—ф! = 0, то уравнение (1) примет вид
| У2 2хУ о
А\ ^ Al АХАЯ и'
или
(Ti-i)2=0- откуда у=%х
— уравнение прямой линии. Таким образом, результирующее колеба. ние будет происходить по прямой линии. Угол наклона прямой найдется из уравнения tg а — Аг/Ах = 0,5, т. ё. а = 26°34\ Период ре-
339
зультирующего колебания равен периоду слагаемых колебаний, а
амплитуда результирующего колебания A = V^ А\ + 11,2 см. Следо-
вательно, уравнение результирующего колебания имеет вид s = = 11,2 sin (10я/ + я/3) см.
12.38. а) А= 7 см; б) А = 5 см.
12.39. х2/4+уа/4=1—уравнение окружности радиусом R = 2 м.
12.40. Имеем
. я f \ +cos nt о а 1 j
x = cosnt, y = cos~2 t= у -------2----, или 2у2—l=cosnf.
Отсюда (2у2—1)/*=1, или 2уг—х=\—уравнение параболы.
12.41. *2/1+t/3/4= 1— уравнение эллипса.
12.42. у = —0,75л:—уравнение прямой.
12.43. Уравнение затухающих колебаний имеет вид
х=Ае~Ы sin (со^ + ф). (1)
В нашем случае ш = 2я/Г=я/2, <р = 0 и 6 = х/7’= 1,6/4 = 0,4с-1. • Амплитуда А найдется из условия *='4,5 см при < = 774= 1 с. Нетрудно найти из (1), что /4 = 6,7 см. Таким образом, уравнение (1) примет вид
х=6,7е-°-4? sin у t см. (2)
Для построения 'графика колебания найдем моменты времени ti, tit t3, ..., соответствующие максимальным значениям смещения х. Максимум х найдется из условия v = dx/dt = 0. Из уравнения (1) находим (при ф = 0) '
v = Аае-Ы cos at — АЬе~ы sin (at = 0, отсюда tg Ш = со/8 = 2л/и. (3) *
Из уравнения (3) видно, что только при незатухающих колебаниях, когда х = 0, величина tgco?=oo, или cat = л/2, т. е. 2л(/Г = л/2, или <=Г/4. В нашем же случае tg со< = 2л/х = 3,925, т. е. cot = 75°42'ж « 0.421 л, откуда t = 0,421 я/со = 0,842 с. Таким образом, x = xmax при f1 = 0,842 с; /! = /1 + 7’/2=2,842 с, /3=^ +Г = 4,842’ с и /4 = = ^ + 37/2 = 6,842 0 и т. д. Подставляя найденные значения t в уравнение (2), нетрудно найти соответствующие значения хъ х2, х3, ...
12.44. См. решение 12.43.
12.45. ^ = 7,85 м/с, и2 = 2,88 м/с, ч3= 1,06 м/с, 1>4 = 0,39м7с, ч5 = 0,14 м/с.
12.46. По формулам для затухающих колебаний имеем
/4! = /40ехр к-|г) I /42=/40ехр ,
откуда Ai/As = e*. По условию х=0,2; отсюда А^ А%=\,22.'
12.47. х = 0,023.
12.48. а) <=120 с; б) I =1,22 с.
340 • ' .
12.49. В 1,22 раза.
