Когерентное нелинейное взаимодействие волн в плазме - Вильхельмссон Х.
Скачать (прямая ссылка):
Как видно, к модуляционной неустойчивости приводит наличие действующей на электроны пондеромоторной силы (аналогичной силой, действующей на ионы, можно пренебречь). Они вызывают медленную модуляцию плотности электронов, которой затем подвергаются и ионы из-за появления амбиполяр-ных сил.
Следует отметить, что в приведенном здесь выводе не учтены нелинейности высшего порядка. Тем не менее можно полагать, что полученные уравнения правильно описывают модуляционную неустойчивость в большинстве практически интересных случаев.
ПРИЛОЖЕНИЕ IV МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
Основная проблема теории слабых нелинейностей — возмущение гармонического осциллятора внешней (нелинейной) силой. Эта проблема была предметом исследования множества работ по теоретической и математической физике [1—24]. Недостатком обычной теории возмущений является наличие секулярностей, которые можно устранить лишь при учете вкладов всех порядков. Несекулярные методы теории возмущений были впервые развиты в связи с задачами небесной механики [1—3]. Позднее эти методы нашли широкое применение в теории нелинейного распространения волн.
Для получения приближенных решений, свободных от расходимостей, был предложен ряд специальных процедур устранения секулярных вкладов. Так, в исторически первой работе [1] проводилось разложение в ряд как зависимых, так и независимых переменных, и секулярности устранялись с помощью дополнительных степеней свободы, связанных с разложениями независимых переменных.
Выбирая время в качестве независимой переменной и учитывая слабость нелинейности, разумно ввести в рассмотрение временные вариации, медленные по сравнению с линейными гармоническими колебаниями. Таким образом, возникают два временных масштаба, один из которых (соответствующий быстрым колебаниям) должен быть исключен. В методе Пуанкаре [2] это осуществляется подходящим выбором канонических преобразований при использовании гамильтонова формализма описания недиссипативных систем. Аналогичный метод применяется в работе [3]. В методе Боголюбова—Крылова—Митропольского (БКМ) [4, 5] система не считается консервативной и короткий временной масштаб исключается с помощью специальной техники усреднения. Этот метод получил дальнейшее развитие в работах (6, 7]. В работе [8] предложен новый итерационный метод для консервативных систем, а в [9] указана интересная возможность использования квантовомеханических когерентных состояний.
Если условие слабой нелинейности не выполняется, то проблема резко усложняется, и для этого случая какие-либо общие методы решения еще не разработаны. Следует, однако, упомянуть модель пробных волн [10], в которой
209
параметром разложения служит напряженность поля, и метод разложения по возвратным временам Пуанкаре [11].
В нелинейных плазменных исследованиях также уделяется большое внимание разработке несекулярных методов теории возмущений. В работе [12] развит гамильтонов формализм для трех взаимодействующих волн. Из многочисленных приложений метода БКМ [13—17] отметим теорию эффектов высшего порядка [13], анализ систем с несколькими быстрыми фазами [14] и обобщение теории на случай возмущения нелинейного осциллятора [15]. Один из вариантов метода БКМ использован в работе [17] при общем рассмотрении резонансов и устойчивости нелинейных консервативных систем. Метод многовременных приближений нашел применение также при анализе нелинейных эффектов в слабодиссипативной среде [18].
Для системы связанных нелинейных уравнений с несколькими переменными возникает проблема сокращения числа переменных. Один из способов разрешения этой проблемы — применение метода нормальных колебаний (см. гл. 3). Другие приемы рассмотрены в работах {19—21], где выводятся модельные уравнения, в которых учтены нелинейность, дисперсия и диссипация. К нелинейным модельным уравнениям такого же типа приводит рассмотрение проблемы возбуждения ударных волн и солитонов [22]. Следует упомянуть также работу [23], посвященную математической стороне проблемы нелинейных волн в холодной плазме.
В связи с тем что аналитическое решение нелинейных дифференциальных уравнений представляет собой трудную задачу, часто приходится прибегать; к использованию численных методов. Однако в последнее время наметился значительный прогресс в этой области. Именно, было показано существование весьма широкого класса нелинейных дифференциальных уравнений, решаемых методом обратной задачи рассеяния [24—31].
В заключение отметим серию обзорных статей [32], в которых можно найти достаточно полные сведения по уравнениям, описывающим нелинейную эволюцию, методам редукции в теории возмущений и приложениям метода обратной задачи рассеяния (см. также [33]).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Lindstedt A. Ueber die Integration einer fur die Storungsttheorie wichtigen Differentialgleichung.—Astron. Nachr., 1882, v. 103, p. 211.
2. Poincare H. Les Methodes Nouvelles de la Mechanique Celeste. Paris, Gauthier—Villars, 1892.
