Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
(4)
(5)
Формулы (2) — (5), можно записать так:
Pln (cos V) = cos3‘ -s-,
(6)
(7)
^ у vUо -------- vUo ^ j
Plu _ i (cos 0) = iil sin2/ у,
(8)
(9)
Мы не будем вычислять значений Pl (z) и т. д., гак как в следующем пункте будет показано, что функция Р1тп (г) симметрична относительно индексов т и п.
6. Соотношения симметрии. Функции Pl (z) зависят не только от аргумента г, но и от индексов /, т., п. Рассмотрим свойства симметрии Р1тп (г) относительно индексов тип. Покажем сначала, что функция Plmn(z) не меняется при изменении знаков обоих индексов /пап. Для этого воспользуемся равенством
Но матричные элементы оператора Tt (в) равны Plmn (cos в). Матричные же элементы для Тг (п) были нами найдены в предыдущем пункте. Там было показано, что t1 (к) = 0 при m-j-пфО и
Заменив в равенстве (1) операторы Tt (тг) и Tt (в) соответствующими матрицами, перемножив их и сравнив соответствующие элементы,
g№ g(0) = g(0)gM,
где для краткости положено
0)
m, — m
§ з] МНОГОЧЛЕНЫ ЛЕЖАНДРА И ЯКОБИ 131
получим
(cos 0) = (cos 0).
Но отсюда непосредственно вытекает соотношение
Р1 (z) = Pl (z). (2)
тпv ' —т, —пv J v '
Докажем теперь, что функции Р1тп (z) не меняются при перестановке индексов man. Для этого воспользуемся формулой (1) п. 4, дающей явное выражение для Р1тп (г). Поскольку эта формула симметрична относительно man, имеем
Plmn(z) = Plnm(z). (3)
Равенства (2) и (3) показывают, что функции Р1тп (г) зависят фактически не от т и п, а от \m-\-n\ и | т — п |.
Соотношение (3) можно получить также из формулы (2) п. 4, используя следующие соображения. Обратной к матрице
f о . .
cos — i sin 2~
является матрица
*(-«) =
\t sin y cos 2
О . . 0\
cos -у I sin -у \
¦ i sin Y cos ~2i
углы Эйлера для которой равны тс, 0, —тс. Отсюда следует, что матричные элементы оператора Т1тп(—0) имеют вид
4л(-0) = (-1)л-тЯ^(“ S0). (4)
Но при вещественных значениях 0 матрица §(0) унитарна. Поскольку Ti (и) является унитарным представлением группы SU(2), то имеет место
равенство 1\ (—О) = 7'/*(0). Отсюда следует, что tlmn (—9) = <лт(®) и> в силу равенства (4), что
(_!)»-» р* (cos 0) = pfnm ( cos 0).
Но Plnm(cos0) = (—1)" mPlnm(cos 0), так как Plnm{cos 0) содержит множитель in~m_ Отсюда и вытекает справедливость равенства
P^(cos0) = P'm(cos0) (5)
при вещественных значениях 0 или, что то же самое, справедливость равен-ства F^mn (х) = Кт(х) ПРИ — 1 <д:<1. Поскольку функция Р^,л (г) аналитически зависит от г в плоскости, разрезанной вдоль лучей —сосхс—3 и 1 <С х -< оо, равенство (5) справедливо во всей этой плоскости.
R»
132
ГРУППА УНИТАРНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[ГЛ. III
Наконец, отметим соотношение
Р1 (—г):
тп ' '
;21 — 2т —2 п
(6)
непосредственно вытекающее из формулы (3) п. 4.
7. Матрицы Tt (6), Пользуясь формулой (4) п. 4, находим, что
1 3
матрицы 7^(0) при 1=0, у, 1, у имеют следующий вид:
7о (0) = 1.
I
T_L (0) =
а
• * 0 \
г sin -g- \
С08тУ
/ , 0 (' sin 0
/ cos у —
7’1(0) =
/2 cos О
S1TT
О
<0)
/
i sin 0
ут
. , 0 i sin О - Sin4 -r- —-¦2 1^2
i sin 0
w
COS
COS3 —
i"/3 sin -tj cos3 у
r— о о
• V 3 Sin- COSy
<¦—¦ ooo oo uo о
i VS sin-yCos2-y cos^y—2cos-^sin2y ‘2i cos2 ysin-^-— isin3 -j
,— oo
-УЗ sin2— cos-^-
—Ys sin3yCosy 2icos2 —-sin—— t sin3 ^ cos3——2cosysin2y lY$ sin-^cos2-;
— isin3 -
- Y3 sin2 -g- cos-g-
JY3 sin-^ cos2-^
cos3
0)
(2)
(3)
"2 2 I
I I
8. Соотношения обхода. Функции F^mn(z) определены в комплексной плоскости, разрезанной вдоль лучей (—оо, —1) и (1, оо). На берегах разрезов эти функции принимают различные значения.
