Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Из теоремы 1 вытекает, что в пространстве Jr> существует такой ортогональный нормированный базис f f^, что операторы Т(и)
задаются в этом базисе теми же матрицами, что и операторы Tt(u) в базисе (х)}. Этот базис в Jr> будем называть каноническим. Легко видеть, что канонический базис однозначно определен с точностью до общего скалярного множителя X, такого, что | X | = 1. Именно, канонический базис состоит из нормированных собственных векторов операторов Т (h), где
' и \
5 ? МНОГОЧЛЕНЫ ЛЕЖАНДРА И ЯКОБИ 123
§ 3. Матричные элементы представлений Tt(g).
Многочлены Лежандра и Якоби
В этом параграфе будут вычислены матричные элементы неприводимых унитарных представлений Т^и) группы SU(2). Сначала мы вычислим матричные элементы для представлений Tt (g) группы SL (2, С), получающейся при комплексификации группы SU(2), а потом, перейдя к вещественным значениям параметров, получим матричные элементы представлений Tt (и). Будет показано, что эти матричные элементы выражаются через показательную функцию и через многочлены Plmn(z% тесно связанные с классическими многочленами Якоби и Лежандра. На основе этой связи будут установлены многие свойства многочленов Якоби и Лежандра.
1. Вычисление матричных элементов. В § 2 были построены представления Tt (g) группы SL (2, Q. Они задаются формулой
7',fe)<p(x)=(Px + 8f О)
г— (а Р
л
странстве таких многочленов базис, состоящий из одночленов
^(X) = VJr=^7T^f' (2)
У (/ —га)!(/ + га)!
В н. 4 § 2 было показано, что этот базис ортогонален и нормирован относительно скалярного произведения в •?>;, инвариантного при действии операторов Ti(u), ti?SU(2). Отсюда следует, что операторам Ti(u) неприводимых унитарных представлений группы SU(2) соответствуют в этом базисе унитарные матрицы.
Для вычисления матричных элементов воспользуемся формулой
аи = (Аер ег), (3)
где {е,} — ортонормированный базис. В нашем случае эта формула
где <р (х) — многочлен степени 21 от х, g= ( ^ Выберем в про-
принимает вид Но
4» (g) = {Tt (g) фJ = . (4)
у (/— m)\(Im)l (I — ra)!(/ + ra)!
T, (g) xl-n = (*x + -;У- " фх -f 8),+». (5)
Поэтому из формулы (4) вытекает, что
# — ((а* + + 8^я> xl~m) (РЛ
mn V {I — «)!(/ + «)!(/ — га)! (/ + га)! ’
Раскроем скобки в полученном выражении и примем во внимание, что (л" , х‘~т) = 0 при k ф т и (х1~т, х1~т) = (/ — /и)! (/ —|— т)\. Мы
124
ГРУППА УНИТАРНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[ГЛ. 111
= /(/—«)!(/+ от)! (/ — л)! (/ + л)! a'-mTm Ч1+п X
N
х 2
Д/ — т —у)! (/ + л —у)! (ш — «+./)!
где М= max (0, л — от), /V= min (/—т,
Итак, мы нашли пыражение матричных элементом представления Tt(g) через матричные элементы матрицы g. Отметим, что эго выражение фактически не зависит от [3, так как в силу унимодулярносги матрицы g имеем p-f = a§— 1.
2. Различные выражения матричных элементов. Выведем другие выражения для матричных элементов tl (g) представлений T^g). Первое из них связано с разложением матриц в произведение верх-
Из равенства g=kz следует, что Tl(g)=Tl(k)Tl(z). Поскольку умножению операторов соответствует умножение их матриц, то
Полученное равенство сводит задачу вычисления матричных элементов tlmn(g) к вычислению этих элементов для треугольных матриц k и г. Но для матрицы k имеем -(- = 0. Поэтому из равенства (7) предыдущего пункта вытекает, что при т^>п tlmn(k) обращается в нуль, а при т ==S л остается лишь слагаемое, для которого j = п — т\
Точно так же при т<^п имеем tl (z) = 0, а при /п^п
? (z) = 1 /~(1+т)\(1-^Щ 7т я_________ ,3)
™ V (I — т)\ (/ + га)! (т — га)! Вт'_л' ^
Подставив в формулу (1) выражения матричных элементов tlm.(k)
и tl.n(z), вытекающие из равенств (2) и (3), получим
ней и нижней треугольных матриц. Именно, если
то g—kz, где k —
(1)
/—max (т, п)
(4)
§31 МНОГОЧЛЕНЫ ЛЕЖАНДРА И ЯКОБП 125
Выведенная формула годится для матричных элементов tl (g), ?=(* §)> таких, что 8^0. При 8 = 0, т. е. g=(_*1jp q)> матричные элементы tl (g) непосредственно вычисляются по формуле (7) п. 1. Мы получаем
0 при т-\-п^>0,
*1тп(8) = \ Г(l — m)\{l — n)l (— (5)
I/ ТТЛ---^ГТГП-^Г/ --------тТп ПРИ 0.
