Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
j |F(X)|2<a = ^Ljj J |/(x)|*dx. (5)
С помощью этого равенства легко распространить преобразование Фурье на все функции F(X), имеющие интегрируемый квадрат модуля.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ
99
§ 4. Преобразование Фурье в комплексной области
1. Определение. Если функция F(X) принадлежит пространству ©, то ее преобразование Фурье
ОО
/(*)= ^ F(k)e°*dk (1)
— ОО
определено, вообще говоря, лишь для вещественных значений 2". Однако, если функция F(к) экспоненциально убывает на бесконечности, интеграл (1) имеет смысл и для некоторых комплексных
значений 2".
В самом деле, пусть при Х->-)-оо имеем F(k)=0(eal), где а — некоторое фиксированное число. Тогда интеграл (1) сходится в полосе — a<^Im2s^0. Именно, если z = x-\-iy, где —а<^у^ О, то найдется такое е^> 0, что | elXz | е(а ?> \ а тогда при — а <^у ^ О, Х^>0 имеем
| F (X) е‘Хг | < Се~е\
Следовательно, интеграл (1) сходится на положительной полуоси-Сходимость же на отрицательной полуоси вытекает из того, что
при F (X) @, X 0, ImzsgO функция F (X) еПг быстро убывает.
Точно так же, если при X— оо имеем F(к)= 0(ebl), то интеграл (1) сходится для значений z, принадлежащих полосе Итак, мы доказали, что если F(X)^<5 и
f О (е~аХ), X —оо, а О,
F(k)= ~ (2)
' 0(еЙХ), X —> — оо, &> О, W
то интеграл (1) определен в полосе — а<^\т z <^Ь. В этом случае говорят, что преобразование Фурье f(z) функции F(X) определено в указанной полосе. Ясно, что оно является в этой полосе аналитической функцией от z.
Если бесконечно дифференцируемая функция F (X) финитна, т. е. равна нулю при |Х|^>а, интеграл (1) сходится во всей комплексной плоскости, а потому функция /(z) является целой аналитической функцией. Для любого Ь^>а выполняется при этом неравенство
I f(x “Ь (у) I < Сеь I У I. (3)
В самом деле, гак как при имеем F(k) = Q, то
а а
|/С*+/у)К I \F(k)\e-xydX = eb\y\ $ |F(X)| е~ » ' у \~ху dh
— а —а
Так как Ь'^>а~^\'к\, то —* 1-^1 —1, и потому
I f(x + ly)\<Ce>>\y\.
100
АДДИТИВНАЯ ГРУППА ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ
1ГЛ. II
Целые аналитические функции, удовлетворяющие при некотором Ь^>0 неравенству вида (3), называются целыми аналитическими функциями экспоненциального типа.
Мы доказали, таким образом, что преобразование Фурье бесконечно дифференцируемой финитной функции является целой аналитической функцией экспоненциального типа. При этом, поскольку Функция /(z), рассматриваемая на вещественной оси, принадлежит пространству @ (см. п. 3 § 3).
Можно доказать справедливость обратного утверждения:
Если f(z) — целая аналитическая функция экспоненциального типа, причем функция /(л;), — оо лг оо, принадлежит пространству @, то f(z) является преобразованием Фурье бесконечно дифференцируемой финитной функции (см. [18]).
Покажем теперь, что если функция F (к) удовлетворяет условиям (2), то контур интегрирования в формуле обращения Фурье
ОО
F(X) = i 5 f(z)e~iX"dz
СО
можно заменить любым параллельным ему контуром, лежащим в полосе — a<^lm z <^Ь, т. е. имеет место формула
ОО -f- ci
FQ-)=l. j f(z)e-n4z, (4)
— со -J— с i
где — a<^c<^b.
В самом деле, из условия (2) вытекает, что при —а<^с<^Ь функция е~кс F (к) принадлежит пространству 3. Преобразование Фурье этой функции имеет вид
СО
fc(z)= ^ F(k)e^dk=f(z^-ic).
— ОО
В силу формулы обращения Фурье имеем
ОО
е kcF(k) = 2-_ ^ f(z-\-lc)e-th2dz.
— ОО
Сделав в этом интеграле подстановку w = z-\-ic, мы получим доказываемое равенство (4).
Для финитных функций Ф(Х) мы будем часто писать преобразование Фурье в виде
+ 0О
ср (z)= 5 ф (k)e^dk. (5)
— СО
§ 4] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ 101
В этом случае формула обращения пишется так:
а + /оо
= i (6)
а — loo
2. Преобразование функций с интегрируемым квадратом. Как и в случае вещественных переменных, преобразование Фурье в комплексной области можно распространить на класс функций с интегрируемым квадратом. Именно, справедливо следующее утверждение:
