Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Мы докажем сейчас, что преобразованием Фурье функции из пространства @ является функция того же пространства. Для этого докажем следующие две леммы.
Лемма 1. Если функция F(к) быстро убывает, то ее преобразование Фурье бесконечно дифференцируемо.
В самом деле, пусть
СО
/(*)= 5 (3)
— СО
Так как функция F (к) быстро убывает, то при любом k интеграл
СО
^ XkF(k)dl
— со
абсолютно сходится. Поэтому в правой части равенства (3) можно дифференцировать по х под знаком интеграла:
СО
/*>(*)= ^ (ikf F(k)eiUd\. (4)
— СО
Тем самым доказана бесконечная дифференцируемость функции f (х).
Лемма 2. Если функция F (X) бесконечно дифференцируема,
причем все производные этой функции абсолютно интегрируемы
и стремятся к нулю при к —* оо, то преобразование Фурье /(х) функции F(k) быстро убывает при |jc|—-со.
В самом деле, интегрируя по частям я-j-l раз равенство (3), получаем
СО
/(*)=SJr [ F(n+1)(VeiXxdX (5)
— СО
(проинтегрированные члены обращаются в нуль, поскольку, по уело-
СО
вию, lim Ftfc)(X) = 0). По условию теоремы интеграл ^ F^n+^ (\)etXxd\
| ОО — 00
ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
93
абсолютно сходится, следовательно,
lim \х\п f (х)~ 0.
1*1-* оо
Поэтому функция f(x) быстро убывает при | аг |—-со.
Из лемм 1 и 2 непосредственно вытекает
Теорема 1. Преобразование Фурье f(x) функции F(X) из пространства <3 является функцией того же пространства.
3. Формула обращения. Нашей целью является теперь вывод формулы, позволяющей восстановить функцию F(X) по ее преобразованию Фурье f (х). Сведем этот вопрос к аналогичному вопросу для рядов Фурье.
Функцию ср (X), заданную на вещественной оси, назовем условно периодической (с параметром t), если
<р(Х+1) = *-«ср(Х). (1)
При t = 0 условно периодические функции переходят в обыкновенные периодические функции (ср (X-)-1) = ср (X)); при t = ic эти функции можно назвать антипериодическими (<р(Х-)-1) = — ср (X)).
Пусть F(k)—функция пространства @ (т. е. пусть функция F(X) быстро убывает вместе с производными всех порядков). Положим
СО
^(*)= S F(l + n)eint. (2)
п — — СО
Из быстрого убывания функции F (X) вытекает, что ряд (2) абсолютно и равномерно сходится на отрезке [0, 1]. При этом
СО
/^(Х+1) = 2 ^(Х + я+ \)еш =
п — — СО
со
= *¦“ S F(\ + n)eint=e uFt(k). (3)
л = — СО
Поэтому функция Ft(k) является условно периодической (с параметром t). Далее очевидно, что ряды, полученные из ряда (2) почлен-
ным дифференцированием по t и по X, также сходятся равномерно и абсолютно:
СО
F{r(k)= 2 F{k) (\^Гп)еш, (4)
п = — СО
2 (ln)bF{l + n)eM. (5)
п —— со
Основную роль н выводе формулы обращения играет тот факт, что каждая функция F (X) из пространства @ может быть разложена
94 АДДИТИВНАЯ ГРУППА ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ ]ГЛ. II
по условно периодическим функциям, т. е. представлена в виде
2п
F(X)=i jj F‘Mdt> (6)
где Ft(k) — бесконечно дифференцируемые по X и t условно периодические функции с периодом 1:
^(Х + 1) = е-^(Х). (7)
В самом деле, определим функции Ft(k) в соотношении (6) формулой (2). Тогда
2 п со 2я
J2 [/^(А + «) 5 eln‘dt\ = F(X).
О п = — со О
Таким образом, формулу (2) можно рассматривать как «формулу обращения» для даваемого формулой (6) разложения функции F (X) из пространства @ по условно периодическим функциям.
Воспользуемся теперь тем, что функции Ft(k) eltk являются бесконечно дифференцируемыми по X периодическими функциями (с периодом 1). В силу теоремы 1 п. 4 § 2 их можно разложить в ряд Фурье
