Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Кронекеровским или тензорным произведением пространств i’j и S2 называется линейное пространство i’j), элементами которого являются
линейные отображения пространства S^b 'i- Мы будем обозначать тензорное произведение пространств и i's через Vj (х) 1.'2.
Каждому линейному отображению А пространства в i'j соответствует сопряженное с ним отображение А' пространства i'j в i'2. В силу конечномерности пространств ?] и 1'2 соответствие А—* А' определяет изоморфное отображение 26 (У2, i'j) на % (У[, ?2). Таким образом, если рассматривать линейные пространства с точностью до изоморфизма, то тензорное произведение обладает свойством коммутативности
<\<g)?'2 = i>2(x)«\. (1)
Кроме того, это произведение ассоциативно:
(l*i <2) »») ®> *¦*. = *¦*! ® (4*. ® 1*»)- (2)
Каждой паре (х, у), х ? 1!1; у ? 1*2 поставим в соответствие оператор х®у, определяемый равенством
(х <Е> у) f = f (у) х, (3)
ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ I 73
где f ? 1*2- Так как f (у) — число, то этот оператор отображает пространство I1' в I1,. Таким образом,
х®у ^
Имеют место очевидные соотношения
(ах1 + рх2)®у = а(х1®у) + р(х2®у) (4)
X®(otyI + Py2) = a(x®yI) + P(x®ys). (5)
Легко показать, что любой линейный оператор X, отображающий пространство Vj в i'i, может быть представлен в виде линейной комбинации опе-
раторов вида х ® у. Поэтому, если {e,-}, lsgisg/i— базис в пространстве a {gj}, 1 figysSm — базис в пространстве S2, то элементы hy= е,- ® gy,
Л
I образуют базис в ^ ® 1*а. При этом, если х= Ул gf»e;
i= 1
т
и у=2м>/’то ;= 1
л m
x®y = S2siP; (ei ® S/)- (6)
г=1 ;=i
Определим теперь кронекеровское (или тензорное) произведение операторов Лий, действующих соответственно в пространствах ^ и i'2. Пусть X— линейный оператор, отображающий i''2 в IV Очевидно, что оператор АХВ' отображает пространство в 1'ь т. е. также принадлежит X (l'& I',). При этом отображение Х^АХВ' является линейным оператором в X (Vj, 1!]). Мы назовем этот оператор кронекеровским произведением операторов А и В и обозначим его через А® В. Итак,
\ (А®В)Х=АХВ\ (7)
где Х?%{Г3, 1’,).
Из равенства (7) вытекают следующие свойства кронекеровского произведения операторов:
А ® (а^1 fiB2) = а/1 ® В] $А ® В„, (8)
Н1 + Р4)®А=пЛ1®А + Ру42®5 (9)
и
A1A,®BiBt = (AI®BI)(Aa®Bt). (10)
Чтобы доказать, например, равенство (10), достаточно заметить, что (AtAs ® fijfis) Х= А,А2ХВ'2В[ = А1 [A^XBl) В[ = [А, ® В,) (А, ® В2) X.
Если оператор X из X (i!j, i'i) имеет вид Х=х®у, х ? V1; у ? (т. е.
если Xf = f (у)х, f ^ 1*а), то легко проверить, что
(А ® В) Х=(А ® fi)(x ® у) = Лх ® fiy. (11)
В частности,
(Л ® В) (е,- ® g;) = Ле; ® Bgj.
Отсюда вытекает, что если матрица оператора А в базисе {е,-} равна (аф, а матрица оператора В в базисе {g,.} равна (brs), то матрицей оператора А® В в базисе h//- = e;®g/. является
(cir,js) “ {aifirs)' (12)
74 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП [ГЛ. I
Элементами этой матрицы являются, таким образом, всевозможные попарные произведения элементов матриц (аф и (Ьг5).
Отметим еще, что если и Sa —унитарные линейные пространства (т. е. комплексные линейные пространства, в которых определено скалярное произведение с обычными свойствами), то их кронекеровское произведение Sj (х) S2 также является унитарным пространством. Скалярное произведение в .2, (g) ?'2 определяется равенством
(Хц ® уь х3 ® у2) = (xI; x2)j (у1; у3)2, (13)
где (хь xa)i и (уь у2)а — скалярные произведения в пространствах S, и S2. При этом ортогональным нормированным базисом в ?1®81 является hу = = e;(x)gy, где {е,-}—ортогональный нормированный базис в пространстве Sj и {i;} — ортогональный нормированный базис в ?'2.
