Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Т (g) входит в разложение регулярного представления на неприводимые.
5. Разложение функций на однородных пространствах. В приложениях приходится разлагать не только функции, заданные на компактной группе, но и функции па однородных пространствах
с компактной группой движений (например, не функции на группе вращений сферы, а функции на сфере). Мы видели в п. 2 § 2, что
однородное пространство 9)? с группой движений G можно реали-
зовать как пространство левых классов смежности по стационарной подгруппе Н некоторой точки а дЛ. При этом движения задаются формулой gf,H-^ggf,H. Ясно, что разложение функций на однородном пространстве Ш сводится к разложению функций на группе, постоянных на левых классах смежности по подгруппе Н, т. е. таких, что f(g)=f(gh).
Ограничимся рассмотрением наиболее важного случая, когда подгруппа Н массивна (см. п. 5 § 2). Выберем из системы попарно неэквивалентных неприводимых унитарных представлений {/^(g)}
66
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП
[ГЛ. I
группы О представления класса 1 относительно подгруппы Н и обозначим множество этих представлений через Л0. В пространствах 2а представлений Ta(g), выберем ортонормированные ба-
зисы { е“ } так, чтобы векторы е“ были инвариантны относительно операторов Ta(h), h^H. Ясно, что при таком выборе базиса имеем
^ii V1) = 1 ¦
Рассмотрим матричные элементы t*a (g) представлений Ta(g), а А>. Они постоянны на левых классах смежности по подгруппе Н. В самом деле,
Ш1) = (ra (sh) ef> е/) = (ra (s) та О1) ер ер = (Тa(g) е“, е“) = t^(g). (1)
Естественно ожидать, что именно по этим матричным элементам разлагаются функции на группе G, постоянные на левых классах смежности по Н. Мы докажем сейчас справедливость этого предположения.
Итак, пусть /(g) — функция на компактной группе G, постоянная на левых классах смежности по массивной подгруппе Ц и имеющая интегрируемый квадрат.
В силу результатов п. 3 имеем
d
f(?)= 2 2 с'М> (2)
а ? А = 1
где
c*j=da\f{g)Mg)dg (3)
Надо показать, что разложение (2) содержит лишь слагаемые, для которых о.^А9 и j = 1.
Так как, по условию, для любого h ^ Н имеем f (g)=f (gir1), то
c\j = da\f (gh~') t°ij (g) dg.
Проинтегрируем это равенство по подгруппе Н:
с%- = <4 ^ \f (ghv) tij (g) dgdh — da^ f(g) t* (gh) dg dh =
d ____________ __________
= 2 5/ог)&огЖ tkfWdh.
k = I о H
Рассмотрим интеграл <^t%](h.)dh. Если а^Л0, то в пространстве представления Ta(g) нет вектора, инвариантного относительно операторов Ta(h), h^-H. Поэтому разложение представления Ta(h) подгруппы Н на неприводимые не содержит единичного представления.
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОМПАКТНЫХ ГРУПП
67
Но тогда все матричные элементы (К) этого представления являются линейными комбинациями неприводимых представлений, отличных от единичного, и, значит ортогональны функции t(h) = \. Это показывает, что если а^Л0, то ^tak.(h)dh = 0.
Пусть теперь а ?А9. В силу выбора базиса мы имеем tan (h) = 1 и потому t\j(ti) = t*\(h) = 0 при h^H. Поскольку в про-
странстве 2а есть лишь один нормированный вектор, инвариантный относительно Ta(h), h^H, то все остальные матричные элементы tkf(h), А^>1, У^> 1 являются линейными комбинациями матричных элементов неприводимых унитарных представлений, отличных от единичного. Поэтому, если а ^ Д>, но k ф 1 или 1, то
\fkJ(h) dh = 0.
Из доказанного следует, что если а ^ Ай или _/т^1, то c\j= 0. Поэтому
d
/0?)= 2 S
а 6 -^0 / = I
При этом
cl=da\f(g)t^ (g) dg.
Разумеется, в силу того, что функция f (g) и матричный элемент #(g) постоянны на левых классах смежности по Н, интеграл (3) можно переписать в виде интеграла по однородному пространству Ш — G/H.
Наше утверждение доказано: функции на компактных группах, постоянные на левых классах смежности по массивным подгруппам, разлагаются в ряды вида (2), где Д, — множество попарно неэквивалентных неприводимых унитарных представлений класса 1, a t^(g) — матричные элементы столбцов, соответствующих базисным векторам е“, таким, что Та (h) е* = е“, h Н.
Рассмотрим представление
T(g)f(x)=f(g~'x) (4)
в пространстве функций на однородном пространстве 931 = G/Н с компактной группой движений G и массивной стационарной подгруппой Н. Из разложения (2) легко следует, что это представление разлагается в прямую сумму представлений класса 1 относительно подгруппы Н, причем каждое представление класса 1 входит в разложение только один раз (поскольку в разложении (2) участвуют матричные элементы лишь одной строки матрицы {^-(g)}, а^Л0).