Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
из равенства (2) вытекает, что
P+JCO
I К(Х, v; •/;, ft;(*i)K(v, W •/; gj«*))e-* nd4 =
p -- ico
_^+n(„-v)K(X) w x; gk(r))' (3)
Соотношение (3) и является общей записью теорем сложения для
функций Уиттекера. Чтобы получить из него конкретные формулы,
надо рассмотреть различные выборы индексов i, j и значений tb т, Рассмотрим детально случай, когда i=j= 1. Если ^ = ^^>0,
h = s 0, го
g\ <t) е (0 gi О) = 6 Ы ft (г) е (х — х0 г (Ь),
где
? = ?sshx, г2 = f -)- 2ts ch х —|— s2, ,
Используя эти формулы, и вычисляя в (3) значение К++, приходим к равенству
Р+/СО
р —100
= ~jr exp [(X —)— {J-) х — 2jj,xj — ts sh x] ^(r2), (4)
где
Re (X — jj.) у и Rev^> — ~.
Теперь рассмотрим случай, когда ^ = ^^>0 и t$ = — s<^0, причем t^>s. Тогда при ez <^sft имеем
gi (0 6 СО ft (— s) = 6 (xi) gi (r)6 (x — xj) г (b),
где
? = —teshx, f — 2^’chx — — eZl = t-—-p—.
X-1J.—V X —|J.+
(O W:
X + |i-
422 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ТРЕУГОЛЬНЫХ МАТРИЦ [ГЛ. VIII
Аналогичным путем приходим к формуле
p + ico [ I
j =_L I Т+^ c-»w
Jt~2 «I J Г(, + Х+ц+1)е ^
p —ico
X Wx-n-v X-PL + , (f2)/Wx'+|1_, х + н-v (ss)rfv =
2 ’ 2 ’ 2*2
— Г(2ц+1) T6XP [(X + IJ.)x — 2jj.X! -f ts sh x] Ж..Х,{r\ (5)
где
Re(X-^—i-)<0, Re(v + i-]>0, Re (x + p + y) > 0. (6)
Если ez^>s/t, то им.еем Ув = 0, причем X, jj,, v удовлетворяют неравенствам (6).
В случае точно так же доказываются следующие соот-
ношения.
Если eT<^/s, то У8 выражается формулой (5), а если eT^>sjt,
t s
то Jt = 0. В случае же — ех — имеем
ft (0 6 (х) ft (— s) = 6 (xi) ft (— 06 (x — xi)2 iP)>
где
b = —fcshx, r'2 = s2-|-f2— 2?schx, 6^1 = —-----
>i > r
При этом
Ji
1 ts
b-
Г (2(j. + 1)
j exp [(X -\- jj,) x — 2ixxj -\- tssh x] Mx, ^ (r3), (7)
где X, jj., v удовлетворяют неравенствам (6).
Случай, когда i ф j, приводит к ряду новых формул того же типа, что и рассмотренные выше. Рассмотрим сначала произведение
gi (Л)® СО ft ОУ-
Если tl = t'^>0, ?j = s^>0 и ez<^sjt, то
ft ft) 6 СО ft О) = е (xj) g-2 (г) е (х — хО г (b),
где
? + eTs
(>=ts ch x, f = s1 — t* — 2ts sh x, <?Ti:
| 4] ИНТЕГРАЛЫ, СВЯЗАННЫЙ С ФУНКЦИЯМИ УИТТЕКЕРА 423
Точно так же получаем
P+JCO
= 4-' [ e-”Wx_^4 x_11 + v(^)^v_x_11 v + x + 11(S3)rfv =
“ РА» 2 •- 2 2 ' 2
—-------1----ГТТехр + 2JXX, — ^sctix] .Дг2), (8)
Г {fx — X + 2
где
Pofl ____ ..____
Re(X-|x-l)<0, Re(x+|x + l)>0. (9)
Далее,
p + ‘°° ^ f , 1
J 2it i
[ г('+т)
J j гнГ+71П)^тЬр;Ц11тх
— x ~ (i v-)-x -|—p. (-S^) dv —
2 ’ 2
p — ICO
1 у exp [(X + |x) X — 2(xxt — ts ch x] M.x ^ (r4), (10)
Г(2(х+1) где
Re(x —(* —1)<0, Re(x+ix + i-)>0, Rev> —~ (11)
и, наконец,
p +i°° r
I „-.-WX
J. 9*9
p—*oo ^ *
Х^х-. + .-х-.-Л^^^О. (12)
2 ’ 2
где
Re(X-ix-i-)<0, Re(x + ^ + l)>0, Rev<l. (13)
Если же et'^>sjt, то
b = tschi, r2 = ?3 — s2-|-2?sshx, eTl = t s-
и
Л = —7Т-^--------------ryexP [(X + ix) x — 2jxxj — ts ch x] Wx (r9), (14)
r(T + X+(x)
Л = 0, (15)
y8 = r(2(J!+1) у exp [(X -f fx) X — 2[XX! — ts ch x] MK ^ (rs). (16)
424 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ТРЕУГОЛЬНЫХ МАТРИЦ [ГЛ. VIII
В работе [125] указаны еще некоторые формулы, получающиеся при рассмотрении произведения вида
g-г {Ч) ? (0 gi (А).
4. Двойственные формулы. Формулы обращения Фурье в комплексной форме можно записать следующим образом:
ОО
Ф(ч)= $ f{x) eyXdx,
— оо
где
р -t- i со
f{x) = У J
