Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
г (х + М- + у) '
Итак, мы доказали, что
^х.,(*) = -7Г( ^х,,(*) + Г(^} ГГ& (4)
г(х-, + у) г(х + ^ + т)
Отметим, что ограничения, налагавшиеся на X и ц при вычислении коэффициентов А и В, снимаются путем аналитического продолжения по X и (х. Поэтому формула (4) верна при всех значениях X и |х.
Выражение (3) не меняется при замене |х на — |х. Поэтому имеем соотношение симметрии
Предоставляем читателю вывести формулу для W_Xill(—2).
Мы выразили, таким образом, функции М_х>(1 (—2), и^Дг) и т. д. через Mx>Il(z) и Мх,^(г).
§ 4. Интегралы, связанные с функциями Уиттекера
1. Представление Меллина — Бернса. Как и в случае гипергеометрической функции, интегралы, связанные с функциями Уиттекера, выводятся из соотношения
p + icO
К(Х, |х; х; ftft) = S К (X, v; yr, ft) К (v, (х; X! ft) dx (1)
Р — ICO
выражающего тот факт, что
Tx (ftft) = Тх (ft) Тх {gt). (2)
Однако при этом надо иметь в виду, что в матрице К(Х, |х; х‘> g) некоторые элементы не определены.
Выбирая различным образом элементы gi и g$ и сравнивая соответствующие элементы матриц слева и справа, мы и приходим к интегральным соотношениям для функций Уиттекера. Так, чтобы получить
416 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ТРЕУГОЛЬНЫХ МАТРИЦ [ГЛ.-VIII
интегральные представления типа Меллина—Бернса, будем исходить из следующего очевидного равенства:
(0?+(*) = &(0* (—у)- (3)
Для определенности будем считать, что Rea<^0. Как отмечалось в § 2, в этом случае определено значение К++ Поскольку
К+ _(g_. (t))=K_ + (§г_(0) = 0> т0 из равенства (3) вытекает
е-^К++(к, к •/; й(0) =
р +ico
= 5 К++(К v; х; §_®)К++(Ч, щ X! *+(*))*.
р — icO
Подставив в эту формулу значения K++(g+(t)), K+ + (g_(t)), K+ + (gi(t)), даваемые равенствами (1), (5) и (8) п, 6 § 2, и положив
_0*a = z> LzAz^:=x', Цр = 1/,
v = / — X',
получим
Из условий сходимости интегралов, выражающих ядра K++(g+(t)) и т. д., вытекают следующие ограничения на параметры X, |j,, v:
Re > Re v и Re (у — pj >Re v >Re-X,
Другое выражение для ,,.(•?) получается из равенства
g+ (0 g (0 = gi (0 2 (у) . (5)
Из него следует, что
а/- р -J— «СО
К++(К |х; У’ gi(t))e2 = $ ^++(X> г> Ъ g+{t))K++{'K ]х; ¦/¦ g (t))d'K
p -- ico
Подставляя значения ядер, получаем после несложных преобразований ,,,/V” Г (-L Г (! + ,,-,)
J - r(lix-v)-------------------w
р — /со
где
Re(l ~X)>Re(i--ix)>Rev, Re (1 + [x)>Re v.
§4] ИНТЕГРАЛЫ, СВЯЗАННЫЕ С ФУНКЦИЯМИ УИТТЕКЕРА 417
Если сравнить выражения для А”_+, то получим
о/з р-р/оо *
w •/; gi (0) е2 = $ §¦+(*)) *++(v> w x;
p — ico
Подставляя сюда выражения для ядер, находим интегральное представление для функции Уиттекера УИХ, Дг):
р + <°° | ,
Г (2fi 4- 1) ег/2 Г(м' —ч+т]
^,„(2) = ------------------j- I —)-------------' Г(Х +v)*’*, (7)
p — ICO
где
— ReX<[Rev<[Re(|x-|-y) и Re (p — X +y) > 0.
2. Преобразование Меллина по параметрам. Из равенства (1) п, 1 можно получить целый ряд других интегральных соотношений для функций Уиттекера. Чтобы вывести формулы преобразований Меллина функций Уиттекера по параметрам, рассмотрим матрицу
g+(x)gi(t) =
'\ t-\-х Lv-f-^Л
0 1
\о о
и применим к ней разложения (3) и (5) п. 2 § 2.
Если t^> 0, *^>0, то это разложение имеет следующий вид:
g+ (x)gi(t) = z('t)gi (r)e(— x)z (у), (1)
где §¦+(.?), е (х), g1(t) задаются формулами (1), (4) и (6) п, 1 § 2,
При этом
z* = t* + tx, е^ = —1-
И + л-'
Поскольку матрице е(х) соответствует оператор умножения на е("~Х)т, матрице z (t) — оператор умножения на е°‘, то из формулы (1) вытекает, что
Р + 'СО •
$ К(Х, v; •/; g-+W)K(v, |х; •/; gi(t))di =
р — ico
= ^+TUl Х) к (X, |Х; х; gi (г)).
418 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ТРЕУГОЛЬНЫХ МАТРИЦ [ГЛ. VIII '
Положим здесь о = —1 и сравним элементы К++ слева и справа. Мы получим