Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
где a<^Re;x<^l и 0<^ReX<^—2 Re/. Точно так же, вычисляя АГ+_ (X, (х; х; g), убеждаемся, что
а + * ОО 1 ‘
2тс I
5 rfr=^Fl)<z‘cthf)‘+’F(x’ r‘ ~2,; = <12)
а — i со
где Re jx 0 Re X — 2 Re /, а 0.
§ б) ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 387
Далее, вычисляя К .. + (Х, |л; х; g), мы получаем
а + i оо
J- С Г ^ ^ ,, гН -г^+у [Г (X) Г (1 - V) '.v
2я/ 3 Г (I — v) ^ ^ Г (X —v -j- I)
а — г* со
Xfft >- + 2;+1; X-,+ l;_ah,T) +
+ (_ 1)..?<1->г-гОГ||+2<+ l)sh-,f х
X^4V> v —|— 2/ —)— 1; v — Х-|-1; —sh2cp)]dv =
— e2ti (I + l) + 2(s ((1 + 0 (^ ch Q)l+iL X
xff^z^TT)811^^ x + 2^+1; *-p + i; sh2G) —|—
_|_C_ \ fs r (— x ~~ 2/) r ((* + 2/ + 1) Y
^ ^ Г(ц — X + 1) Г (1 — (j.) Stl 0X-
X l1, “Ь l;[i — X —|— 1; — sh3 0)], (13)
где 0<ReX< — 2 Re/<а + 1 < 1 + Re|л< 2.
Положим в этом равенстве е = 0, е = 1/2 и возьмем полусумму и полуразность возникающих формул. Мы получим
а -|- i со
Ш $ r^=^T)^chtP)^s^v'fX
а — i со
XF(k, X —|— 2/ —|— 1; X — v —|— 1; — sh2cp)dv =
. e2tl (* + о н- 2ta (li + (г, Ch 0)?'+)1 sh^0 X
Г (X — (j. 1) \ch ср/
Х^(Х, Х + 2/+ 1; X — (Л+ 1; — sh3 6) (14)
а -f- / оо
К? $
а — i со
Х^(Л V + 2/+I; V —Х+1; — sh2cp) rfv =
= г^Х+ТЩТ^^ ("+1°+2^ ^ 0 (^”)2/C^i ch 0)^ ^ sh-^0X
X F (р., (-*• —|— 2/ —|— 1; [л — X —|— 1; —sh2 в). (15)
Точно так же, вычисляя АГ__(Х, [л; у, g), получаем:
а •-{- / оо
2Д 5 Г(V)г(1 -,)(г, Chт)»~ [щ-_ v + y»>(v_ТТТ)8h--f X
а — i со
XF(k, Х + 2/+1; X — v —|— 1; — shacp) -j-
_1_ r(lJ---V)r(v + 2/+ 1) . -X-V-U- 2 у
“Г Г(|Х)Г(1 — (Х)Г (2/ + 2) ь
ХР(Х + 2/+1; V + 2/+1; 2/+2; _^)]л =
: Г I* (2^4-~2) ^ g2<1 ^ + 1^2(г + (^~j (zi ^ 4/_а0 X
, (Х + 2/+1; 2/+2; - ^L.) , (16)
388 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ УНИМОДУЛЯРНЫХ МАТРИЦ [ГЛ. VII
где 0 а Re (i 1 и 0<[ReX<^—2Re/<[l-|-a<^2,
а + ico
J_ f Г(у)Г(у + 2/+1)
2*1 ) r(v-X+l)r(v-|t+l)
a — ico
(zx ch <р)х+" sh" *cp X
XFl?, V+2/+1; v —X+l; — sh»«p)dv = 0 (17)
при тех же ограничениях на параметры.
Мы предоставляем читателю разбор случаев cp^>0, z =— ^<^0,
th ср zt cth ср и cp^>0, z =—2i<^0, cth ср. В этих слу-
чаях левая часгь формул (11) —(17) остается той же самой, правая же меняется, так как матрица g имеет другой канонический вид. Например, при th ср zx cth ср имеем g=diitd%, где dt и d^ — диагональнйе матрицы,
d\
При этом
'е~*1 0 \ /<?— '‘а 0
, da = \ I и и -
0 еЧ \0 еЧ
cos о — sin sin 0 cos
cos 20 = ch 2cp — Zi sh 2cp, „it, _ zi ch у sh cp ^
<0,
e”l :
ещ,
' ch cf — Zi sh cf
cth cp,
2Zj cth 2cf— 1 — zf ’
(18)
Если же ^!^>cthcp, то g=dxh(—s)dit где dx и d% имеют тот же
/ch0 sh0\ / 0 1 \
смысл, ,что и выше, h = | _ п | и s = ( ^ ]. При этом
6>0,
sh 0 ch
cos 20 = zt sh 2cp — ch 2cp, ch cf sh у /
' zl sh cf — ch cf 1
cth cp,
+ zf — 2Zi cth 2cf *
(19)
Укажем, наконец, что аналогичные формулы возникают из рас-
'cos 0 — sin 0\ /1 0\
смотрения матриц вида g=uz, где и = | „
sin
cos
\Z 1,
Здесь также приходится рассматривать различные случаи, в зависимости от значений 0 и z. Относительно формул такого типа см. [122], п. 6.
§ 61 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 389
4. Теоремы сложения. Применим теперь равенство (3) п. I к матрицам
/ ch 0! shOA /ch0,3 sh 02\
^ \sh 0j ch \sh 02 ch 02j ‘
Мы имеем
''ch (0t -|- 92) sh (0j + 02)\
\sh(0, + 02) ch (0j -I- О,),/ ’
Поэтому
a 4* i oo
/Г(Х, K x; 0, + 0*)= 5 K(X, v; z; OOKO, W X; 64)rfv, (1)
a — ? со
где значение а выбрано соответствующим образом.
Сравним в равенстве (1) матричные элементы слева и справа. Пусть 01 О, 02>О. Тогда