Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Аналогичным образом можно расширить область применения других формул этой главы. Мы не будем оговаривать это явным образом в каждом отдельном случае.
Формулы, выражающие /С + (Х, (J.; х; Щ и /С_(Х, X! А) не дают новых интегральных представлений для гипергеометрической функции, а вновь приводят к формуле (6). К той же формуле приводят и равенства для К(Х, [V, х; hr1). Чтобы получить другие интегральные представления гипергеометрической функции, рассмотрим разложение
^(cos6М/1 °у (7)
\ sin 6 cos 6/ \0 1 / \ 0 cos 0/ \tg0 1/
Из этого разложения следует, что
а + ico
К(Х, !*; х; «)= 5 К(Х’ ^ X-’ 9 cos9 (v + /) 0 K(v, W x; г)йч, (8)
a — tco
^ V z = { Согласно п. 2 § 4 при O'X) имеем
1 f \tg 0 1/ ^
АГ_ + (X, v; x; C) = AT+_(v, (i; x'. z) = °-
где ? =
1. —
382 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ УНИМОДУЛЯРНЫХ МАТРИЦ [ГЛ. VII
Поэтому из равенства (8) вытекает, что
а + ico
/С _ (X, fj.; х; и) = $ г> с) cos9 (v+/) (V, (х; х; 2) dx (9)
а — ico
Подставим в эту формулу значения [J-; х; “)> АГ__ _ (X, v; х; t)
и /C_(v> (J-; 2), даваемые формулой (16) п. 1 § 4 и формулами
(11) и (5) п. 2 § 4. После простых преобразований получаем *„ 2 а + (1 + 2/1 П
1JL_l_F(_X_2Z, |). 2/; l-X-^-24_dg*«) =
а -J- tco
__L С .....sin«vedy
— 2ni J Г(— 2/ — v)T(1 — v) ’
a — ico
где a<^ReX<[— 2Re/, a<[Re(j.<^l.
Для упрощения этой формулы применим к левой части равенство (5) п. 2 § 1 и положим X = 1 — X', = — о»' —|— 1, 21—У — [/*— 1,
—a»'+l, sin2 0 = 1—х. Мы получим после простых преобразований
а + ico
5 гГ(1“--ХУ** о»)
а — ico
где а 0 Re (ш — ;х), а Re (ш — X — [J-) Re (ш — X) и 0 х 1.
При интеграл в правой части этого равенства обращается
в нуль. В этом проще всего убедиться, вычислив его с помощью вычетов.
Далее, вычисляя AT.+(Х, (J.; х; и) и заменяя X -{- jj, ~\- 21 -|~ 1 на о/
• а 6
И Sin2 2 на х> получим Г (X) Г ((j.) Г (to X) Г (to (j.) I X —
a -j- tco
= 2^ J r(v)r(X-v)r([x-v)r(0)-X-!x + v)x^v +
a — ico
a + tco
У f _________L(V) Г (V + 03___^_________ V ^ (JJN
* 3 Г(^ —Х + 1)Г<м —ц+l) X a%
a — ico
0<[a<[Re(J., Re(X-|-(j. — to)<[a<^ReX и 0<^ jc<^1. (12)
§ 6] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 383
Складывая и вычитая формулы, соответствующие значениям е = 0 и e=-g-, находим, что при выполнении неравенств (12)
а + ico
~ ^ Г (v) Г (X — v) Г ([j. — v) Г (ш — X — (j, -|- v) =
а — ico
= к п (,3)
а + ico
- { Г(у)Г(у + М — X — ц.)
2*1 J Г (у— Х-(-1)Г(у—(J- —1) U ( }
а — ico
Чтобы вычислить интеграл (13) при jc1, заменим в формуле (13) х на Д-, [х на ш — fj,' и v на X — /. Мы получим
х
а + tco
2 ni
и -j- tco
^ Г (v) Г (X — '¦') Г (fi — v) Г (ш — X — (j, —|— v) jcv d~i =
= r^rWr(g-X)r(a_-rt/7^ ^ ш. 1_-^ (14)
где
0<^a<[Re(j., Re (X —|— [х — co)<^a<[ReX и х^>1.
Наконец, вычисляя АТ+_(Х, [а; •/, и), приходим к формуле
a -j- tco
J_ ? Г (X у) Г (у) ,-y,v_
2*1 } Г(<о — у)Г(1 — (х + у)
а — tco
(,5>
где
Re fx—l<^0<^a<^ReX<^Reco и 0 jc<^ 1. (16)
Из этой формулы получаем, как и в случае формулы (13), что при х^> 1
а + ico
1 С _______Г(Х—у)Г(у)
!г S
-x^d.4 =
2Ttl J Г (со v) Г (1 (X -j- v)
а — ico
