Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
а + i oo
Rx (&) Fv (х) = I ^++ (К к х; g) О) dp +
а — i oo
а i со
+ I (J-; х; (7)
а — i со
где ядра К++(К ц; ? g) и АГ+_(Х, ц g) задаются формулами
11 S) =
СО
=i S1 ()Г1 +812' sign'E +8) dx' (8)
о +
00
К+-ЛК Ю х; S)=i 5 -^X_1 Р-хг + S |2/ sign23 (рлг-h S) rfjc
0
(8')
! ax +
^в интегралах, выражающих ядра, сделана подстановка у = р^гтд].
Аналогично доказывается, что
а + i оо
Rx(g)F-(»= $ К-ЛК к х; i§)/7+(p-)^ +
^ а — i со
a -j- 1 00
+ 5 (Х> К X! g) О) dp, (9)
а — i оо
где
#-+(*> w х; g)=
00
•vX"1(n|^i)+l,'i —^+8la'sign2S(—+ (io)
AL_(X, (J.; x. §) =
00
= 2? J ^(-ju + a)!" 1 - + 812' signSE (- px + 8) dx. (1 O')
§ 3) НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ SL (2, /?) 361
Итак, мы доказали следующее утверждение:
Если 0<^ReX<^—2Re/, —1—2 Re/<^Re [j. 1, и если все
(Л ^
элементы матрицы g= I ^ I отличны от нуля, то после перехода к пространству пар F = (/7+, F_) операторы представления Тх (g) переходят в операторы
/?zfe)F(X)= +$ К (К К х; g)F(tidp. (11)
а — i со
Здесь через К(Х, х; g) обозначена матрица
/*++ К+-\
K=U.. *..)¦ <12)
элементы которой даются формулами (8), (8'), (10), (Ю').
Матрицу К будем в дальнейшем называть ядром оператора Rx(g). Это ядро определено в области
О < Re X < — 2 Re /,
— 1 — 2 Re / <^ Re (i 1.
В случае, когда один из элементов матрицы g равен нулю, соответствующий оператор Rx(g) также задается формулой вида (11). Однако в этом случае область сходимости интегралов (8), (8') (10) и (10') меняется. Именно, при а = 0 эти интегралы сходятся в области
О < Re X; Re(X+(j/)<— 2 Re/< Re p. -f- 1, (13)
при p = 0 — в области
О <Re л <Re (j, < 1, (13')
при f = 0 — в области
— 2Re/— 1 <Re[i<ReX< — 2Re/ (13")
и при 8 = 0 — в области
Re X < — 2 Re /<Re (X-|- ja); Rej*< I. (13"')
4. Инфи нитезимальные операторы. Вычислим инфинитезимальные операторы построенных выше представлений группы SL(2, R). Операторы представления Tx(g), соответствующие элементам
•Д0=(о {) 0)
однопараметрической подгруппы 2+, имеют в^д
Ту к (9) = I tx-f 1 |а sign (tx + 1)/(. (2)
362 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ УНИМОДУЛЯРНЫХ МАТРИЦ [ГЛ. VII
Продифференцировав обе части этого равенства по t и положив t = О, получим
А, = (t)) I = 21х — Х*~. ' (3)
+ dt | /_о dx \
Точно так же инфинитезимальный оператор А_ этого представле-
П 0\
ния, соответствующий подгруппе 2_ матриц вида ^ ^ |, задается формулой
А-=Ь ^
je ‘ 0\
Подгруппе же 23 матриц <о8(^) = 1 А соответствует оператор
А3 = 21-2х?с. (5)
Так как касательная матрица к подгруппе
(ch t shA
2, ¦,
\sh t ch t
имеет вид aj = a+-|-a_, то подгруппе соответствует инфинитезимальный оператор
А~ = 2lx-\- (1—x^~dx-
Точно так же доказывается, что подгруппе
/ cos t — sin t
\sin? cos t соответствует инфинитезимальный оператор
Л3 = -2/*+(1+^)^. (7)
Вычислим теперь инфинитезимальные операторы для представления Rx(g). Чтобы найти оператор, соответствующий подгруппе надо найти преобразования Меллина функций A+f (х), и
(A+f)(—х), jc<^0. Преобразование Меллина для AJ(x) имеет вид 00 00
§ хх_М+/'(х) dx= ^ Xх 1 [2lxf(x) — х2/'(д:)] dx =
0 0
