Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
!- ^ ф_(р)с— х) 2 ,р^р. *<о,
— со
00 00 j If{x)\*dx = ^ J |®+(p)|^p + i- J |ФЛР)|^Р>
где для краткости положено Ф+(р) = /7± «pj. Мы можем по-
этому распространить соответствие /—-(F+, F_) до соответствия /— (Ф+) Ф_), где /, Ф+, Ф_ — функции с интегрируемым квадратом модуля.
Найдем теперь, как выражаются операторы представления Т% (g) в пространстве пар F = (/7+, Р_). Обозначим пару, соответствующую функции Tx(g)f(x), через Rx (g) F = (Rx (g) F_v, Rt (g) F ).
358 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ УНИМОДУЛЯРНЫХ МАТРИЦ [ГЛ. VII
(е-* 0 \
Пусть d=[n _ —диагональная матрица. В пространстве функ-
\ 0 ev /
ций f (х) ей соответствует оператор
Tx(d)f(x) = e^f(e^x). (8)
Поэтому
СО
Rx (d) F+ (X) = (e Tf х) xl~1 dx =
О
со
= ei9(M) ^f(x)xl~l dx = ea-ti-M)F+(k). (9)
О
Аналогично,
Rx (d) F_ (X) = е^{Ш) F_ (X) (10)
и, следовательно,
flz(rf)F(X) = e**(x+/)F(X). (11)
* 0 \
Таким образом, оператору Tx(d), rf=l ^ I соответствует
в пространстве пар F = (/¦%, F ) оператор умножения на функцию е2<р(М-0_ иными словами, при переходе к пространству пар операторы, соответствующие матрицам d, приняли диагональную форму.
/ 0 1'
Совершенно аналогично доказывается, что матрице s=|
1 0/
соответствует оператор, переводящий пару F (X) = (F+ (X), F_ (X)) в пару
Rx (s) F (X) = (F_ (— X — 2/), (- 1 )**/=+ (- X - 2/)). (12)
1 0
0 -
дящий пару F = (F+, FJ) в пару
Матрице же — е = ( ^ | соответствует оператор, перево-
(- !)*¦ F = ((- 1 ?‘F+, (- 1)2Е/0- (13)
'1 0’
ie * = |
щий F = (/7+, F._) в
Наконец, матрице ^ = (q j) соответствует оператор, перенодя-
Rx(t) F = ((- 1 TF_, (- - 1 )*¦/%). (14)
3. Операторы второй реализации представлений T,(g). Рас-' /а
смотрим теперь матрицу Sr = l gj> все элементы которой отличны
§31 НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ SL (2, 7?) 359
от нуля, и найдем соответствующий ей оператор в пространстве пар. Так как
7'xfe)/W = |^ + 8|aisign24^+S)/(;-^), (1)
ТО
со
Rt(g)F+M= J *+4^ + S|*'signa4^ + S)/(g^W (2)
— оо
И
00
Rx(g)F-(K)= j ^-_Il^+Ma'signa?(px + 8)/(^±|)^. (3)
— СО
Сделаем в формуле (2) подстановку ^-^-Ъ =У' полУчаем
Rx(g)F+(k) =
00
= J (Д^+а)*~1 i — Йу +аГ'“5 slsn2? (— Йу + *)/(у) dy• (4)
— оо
Используя формулу обращения (5) п. 2, можно переписать этот интеграл в следующем виде:
00
R, (я) F,« = i I 'i-Ь + « г“- X
О
а + i со
X sign3' ( (Зу -|- а) ^ у-Ч*\ ([!) d[x dy +
a —ico
+ i S (=|чУ+ i~^ + ai“2'“*X
— CO
а + l со
x sign28 (— + a) j ([X) dy, (5)
a — ico
где 0 a — 2 Re /.
Покажем, что при выполнении условий
0<ReX<— 2 Re/, |
— 1 — 2Re/<Re[x<l ) (6)
интегралы в формуле (5) абсолютно сходятся. Так как функции F+ ((J.) и F_ ([x)j (j, = а -\- jv быстро убывают при | v | —> со, то достаточно показать сходимость интегралов по переменной у. Если все элементы
360 Представления группы унимодулярных мАтрИц [гл. vii
матрицы g = ^ gj отличны от нуля, то особыми точками подынтегральной функции являются точки_у = 0, у и оо. Порядки функции в этих точках равны соответственно
— р., — X — 2/ — 1, X—1 и — [х — 2/ — 2.
Отсюда и вытекает абсолютная сходимость интегралов в области (6). Случай, когда один из элементов матрицы g обращается в нуль, будет рассмотрен ниже.
Будем считать, что условия (6) выполнены. Тогда можно изменить порядок интегрирования. Мы получим