Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
§ 3. Представления группы МН (2)
1. Неприводимые представления. Неприводимые представления группы МН{2) аналогичны представлениям группы М (2) движений евклидовой плоскости, которые были описаны в п. 1 § 2 главы IV. Каждое такое представление задается комплексным числом R, отличным от нуля. Представление TR(g) группы МН{2) строится в пространстве бесконечно дифференцируемых финитных функций /(х) на гиперболе х\ — х\ = 1. Пусть g=g(au аъ ср) — элемент группы М//(2). Обозначим через h(— да) гиперболическое вращение
х\ = х, ch со — лсо sh со, 1
1 1 , г I
л:2 = — х{ sh ср -)- х% ch ср )
и через а—вектор (аи а%). Оператор представления TR(g) зададим формулой
TR{g)f{x) = e~R[a-'Xf{h (-ср)х) (2)
(напомним, что гиперболическое вращение h (— ср) переводит точки гиперболы в точки той же гиперболы).
Не составляет труда проверить, что
тк fei) TR (gi) = TR (g]gi), (3)
и потому TR(g) является представлением группы МН(2). Точки гиперболы х\ — лг|=1 можно записать в виде Jq = ch6, .x;4 = sh0. Каждой функции /(х) на гиперболе поставим в соответствие функцию
/(0)=/(ch6, sh6) (4)
258 ФУНКЦИИ ГАНКЕЛЯ и МАКДОНАЛЬДА [ГЛ. V
вещественного переменного 0. В пространстве этих функций пред-
ставление TR(g) задается следующим образом:
7>(g-)/(0) = eJ?(“aichS + assh6)/(6 — <р). (5)
Введем в пространстве функций /(0) скалярное произведение,
положив
СО __
сА. А) = \ М»)Ат>. (6)
— со
Очевидно, что представление TR(g) унитарно относительно этого скалярного произведения тогда и только тогда, когда R — чисто мнимое число.
2. Другая реализация представлений TR(g) группы МН (2).
Опишем другую реализацию представлений TR(g) группы МН{2). При этой реализации гиперболическим вращениям будут соответствовать операторы умножения на функцию. Она строится следующим образом.
Каждой функции
/(0)=/(ch0, sh0) (1)
из пространства представления поставим в соответствие ее преобразование Фурье F (к):
ОО
F(k) = $ /(0)^0. (2)
— СО
Интеграл (2) сходится при всех комплексных значениях X, поскольку функции /(0) по условию финитны и бесконечно дифференцируемы. При этом функция F (к) аналитична во всей комплексной области, удовлетворяет неравенству вида
+ (3)
и быстро убывает на каждой прямой, параллельной мнимой оси (ср. п. 1 § 4 главы II).
Как было показано в п. 1 § 4 главы II, формула обращения имеет вид
a-\-i:о
/(0) = 2^7 5 (4)
а — гсо
Обозначим через QR(g) оператор в пространстве функций F(к), соответствующий оператору TR (g) в пространстве функций f (0). Операторы QR(g) задают другую реализацию представления TR{g)
группы МН (2).
§ 31 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ МН (2) 259
Найдем вид оператора QR(g) для элементов вида g-(0, 0, ср). По формуле (5) п. 1 оператор TR(g(0, 0, ср)) переводит /(6) в /(0—ср). Поэтому при g=g(0, 0, ср)
СО СО
QR(g)F(V= S /(0—cp)^9fi?6 = ^ 5 f(d)el4d = e^F(X). (5)
— СО — со
Итак, гиперболическим вращениям соответствуют операторы умножения на e'/Jf.
По формуле (1) п. 3 § 1 любой элемент группы МН(2) может
быть представлен в виде произведения гиперболических вращений и
параллельного переноса на векторы вида (± г, 0), (0, ± г) или (-1- 1, -ь 1). Поскольку операторы, соответствующие гиперболическим вращениям, нами уже найдены, осталось найти операторы, соответствующие параллельным переносам указанного вида.
Пусть g=g(r, 0, 0), г^> 0. Тогда по формуле (5) п. 1
TR(g)f(e) = e~*rCh'>f( 6). (6)
и потому
со
QR(g)FQ)= S e~RrchB + Mf(b)dO. (7)
— СО
В силу формулы обращения (4) имеем
а -р <*со
а — ioo
и потому
со a -f- г со
QR(g)F(k)=^-. J e~RrchBde J FMe^dp. (8)
