Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
х[ = г ch (ср -)- в), x's = г sh (ср —|— 6).
(9)
Отсюда следует, что мера d$ на гиперболе инвариантна относительно гиперболических вращений. Будем обозначать подгруппу гиперболических вращений через 2.
Вторая подгруппа состоит из параллельных переносов:
лг ЛГ) Gj, )
¦_ Г (10>
х„ — х% J Для параллельных переносов g = g(ab 0).
Элементы подгруппы А параллельных переносов находятся во взаимно однозначном соответствии с точками псевдоевклидовой плоскости. Поэтому элементы подгруппы Q гиперболических вращений можно рассматривать как автоморфизмы подгруппы А. Равенство
? (а, ш) g (b, ^) = g-(a + b^, ср + 40
цоказываег, что группа МН (2) является скрещенным произведением подгруппы В и группы ее автоморфизмов Q.
3. Параметризация группы МН (2). Каждый элемент g группы МН(2) может быть задан тремя вещественными числами ср, а„ изменяющимися от — со до со. Во многих случаях удобнее другая параметризация этой группы, основанная на следующем предложении:
Каждый элемент g~ g(av аг, ср) группы МН(2) может быть представлен в виде
g=g{0, 0, <!>)/i?(0, 0, ср — ф), (1)
§21 ГРУППА МН (2) ДВИЖЕНИЙ ПСЕВДОЕВКЛИДОВОЙ плоскости 255
где h — параллельный перенос одного из следующих видов: g=g(±r, 0,0), г>0, \
g=g{0,±r,0), г> 0, /
или
g={± 1. ± 1. 0) (3)
(в последнем случае возможны все четыре комбинации знаков).
В самом деле, пусть, например, —я, Положим
rtj = Г ch ф,
= г sh ф,
где г2 = а\ — а.% г^> 0. Тогда
?(°. 0, ф)зЧг, 0, 0) = ^(r ch ф, гвЬф, ф) = ^(а, ф),
и потому
?(0, о, ф)?(г, 0, 0)*(0, 0, Щ — Ф) =
= g(а. Ф)?(0, <р — ф) = ^(a, <p) = g(a„ а.2, ср).
Аналогично проводится доказательство в остальных случаях. В частности, при г^>0.
g(±r, ±r, v) = g(0, 0, ф)^(± 1, ±1, 0)^(0, 0, 'f — ф), (4)
где = г.
Построенная параметризация группы МН(2) аналогична параметризации группы М (2), рассмотренной в п. 2 § 1 главы IV.
Движения вида
g(0, 0, ф)?-(г, 0, 0)^(0, 0, ср ф), г> 0, (5)
переводят точки квадранта —xt х2 х^ в точки того же квадранта. Следовательно, эти движения образуют полугруппу в группе МН(2)'). Аналогичное утверждение справедливо для движений вида
?(0, 0, ф)?(— г, 0, 0)^(0, 0, ср — ф) (6)
и т. д.
Каждая из этих подгрупп состоит из движений, переводящих точки некоторого квадранта в точки того же квадранта.
4. Алгебра Ли группы МН(2). Построим алгебру Ли группы МН{2). В качестве базиса этой алгебры выберем касательные матрицы к одно-
*) Множество элементов группы образует полугруппу, если вместе с любыми двумя элементами ему принадлежит их произведение.
256
ФУНКЦИИ ГАНКЕЛЯ И МАКДОНАЛЬДА
[ГЛ. V
параметрическим подгруппам 21; 23, состоящим из матриц вида
0)
/ch t sh t 0\
o)3 (t) = ( sh t ch t 0 |.
0 0 1,
Мы имеем
Точно так же находим
V
аЧ (0 dt
0 0 1\
t=о
= 0 0 0
/О о о
а<2 = 1 0 0 1
\о О О
\0 О О/ \
Г
а-л = i 1
1 0\
О 0 'i
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
\о О о/
Соотношения коммутации для матриц аи а.2, а3 имеют следующий вид,
[а1; а2] = 0, (7)
К, а3]=— аь (7')
[а3, а,] = а2. (7")
Во многих случаях вместо матриц ах и а2 удобнее использовать их линейные комбинации:
/О 0 1
§ 31 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ МН (2) 257
Они являются касательными матрицами к однопараметрическим подгруппам 3+ и Е_, состоящим соответственно из матриц
(9)
(90
Соотношения коммутации для матриц h+, h_, а3 имеют следующий вид:
[h+, h_] = 0, (10)
[К, a3] = h+, (10')
[/г_, а,] = А_. (10")