Квантовая физика - Вихман Э.
Скачать (прямая ссылка):
1 dk da> dv ч
— = -г-, или V— -7--Т7. (5а)
v da dv dkJS v '
Мы думаем, что групповая скорость v может быть скоростью частицы. Чтобы продвинуться дальше, нужно угадать зависимость частоты со от р и Е. Допустим, что зависимость E=tixo, справедливая для фотонов, годится и для материальных частиц. Тогда
?co = ? = -^=. (5Ь)
Подставляя это выражение во второе из равенств (5а), получаем dk 1 dco т (. е
dv = -^ = TV-^) • (5с)
Интегрируя это уравнение в предположении, что k=0, если и=0, имеем
%k= r т'°. = = р, (5d)
или в векторной форме
fik—p. (5е)
Именно это выражение было предложено де Бройлем.
6. Чтобы получить выражение %k=p, мы сделали несколько сомнительное предположение, выраженное левой частью уравнения (5Ь). Зададимся вопросом: можно ли получить тот же результат, не прибегая к такому предположению, а исходя из общих требо-
*) Крауфорд <t>. Волны.— 3-е изд.— М.: Наука, 1984, гл. 3.
180
ваннн релятивистской инвариантности? Используем эту возможность и убедимся, что уравнения (5Ь) и (5d) согласуются со специальной теорией относительности.
Прежде всего следует выяснить, как меняются величины k и со при преобразованиях Лоренца. Допустим, что в нештрихованной системе волновая функция гр(лг, t) задана выражением (4а). Эта же волна в штрихованной системе, движущейся со скоростью v относительно нештрихованной системы, будет иметь вид
гр' [х', t') — A' exp (где' й' — m't'), (6а)
где /Г — постоянная амплитуда, которая может быть и не равна А. Допустим, что штрихованная система является системой покоя нашел частицы. В этой системе А'=0, р'= 0 и ?'=тс2. Если предпо ложить, далее, что выражение (5Ь) справедливо для системы покоя, то получим со'=ягс2/й.
7. Фаза волны в данной системе определена выражением х-к—<.ot, и мы допустим, что эта величина является инвариантом: если в штрихованной системе в точке х' в момент времени f фаза имеет данное значение, то она сохранит его в соответствующей точке х п в соответствующий момент времени t нештрихованной системы. Это предположение следует из периодической структуры волны. Если фаза двух пространственно-временных точек отличается на целое число 2л войной системе координат, то фазы той же волны должны отличаться на то же число 2я в любой системе координат. Отсюда следует, что фазы в штрихованной и нештрихованной системах могут лишь отличаться на постоянную величину. Эта величина может быть включена в отношение Л/Л', и, таким образом, инвариантом становится сама фаза. Сделав это предположение и выбрав штрихованную систему координат в качестве системы покоя частицы, получаем
X- k—at = — m't' =1— (mc2/%)ff. (7a)
Величину t' можно выраз-ить через х, t и скорость — V, с которой нештрихованная система движется относительно штрихованной. Связь между этими величинами дается преобразованием Лоренца. рассмотренным в томе I нашего курса *):
/'= i-x-vlc2__ (7Ь)
У \-iyjcY
Подставляя это выражение в (7а), получаем
(7с)
V\ -ш2 '
Полученное равенство справедливо для любых х и t. Поэтому
тс21%
(0= -- :-- -гг, (7d)
У \ -(р/с)* 1
k= rmVlh=. (7е)
У1—(о/с)» V ’
*) Киттель Ч., Найт У-, Рудерман М. Механика.— 3-е изд.— М.: Наука, .1983, гл. 11.
181
С другой стороны, v есть скорость частицы в нёштрихованной системе координат, так как в штрихованной системе частица покоится. Таким образом, энергия Е и импульс р частицы в нештрихованной системе равны
р /ПС tTIV /'7С\
Е в ___________р = (7f)
Y1—(pic)2 Y i—(и/с)3
Объединяя выражения (7d) — (7f), имеем
E e= Йсо, p = tik. (7g)
Мы подтвердили формулу (5e) и видим, что выражение (5Ь), введенное нами в качестве догадки, справедливо в общем случае, если оно справедливо в системе покоя. Наш ход рассуждений показал, что соотношения (7g) находятся в согласии со специальной теорией относительности. Действительно, мы получили их, исходя из требования релятивистской инвариантности фазы.
