Квантовая физика - Вихман Э.
Скачать (прямая ссылка):
2. Интересно проследить предсказание и экспериментальное обнаружение волновых свойств вещества, ибо это было великим открытием в физике. В первой части главы мы будем почти точно руководствоваться исторической последовательностью событий и просим читателя забыть все, что ему’уже известно о волновых свойствах частиц. Вернемся к ситуации, существовавшей примерно в 1923 г. В то время уже было достаточно много*известно о корпускулярных свойствах электрона, но его волновые свойства были неизвестны. Однако тот факт, что фотон обладает некоторыми корпускулярными свойствами, был известен.
Нам предстоит выяснить, может ли материальная частица, например электрон, иметь волновые свойства. Для ответа на этот вопрос следует обратиться к опыту, но предварительно мы рассмотрим некоторые теоретические идеи.
3. Желание связать в одном объекте свойства волны и частицы может казаться очень странным. Мы не утверждаем, что можем логически доказать такую возможность. Существуют, однако, некоторые оптические аналогии, к которым мы можем обратиться. Рассмотрим прохождение света через некоторый оптический при-
178
бор. В принципе мы можем понять его свойства, решив уравнения Максвелла с подходящими граничными условиями. Они позволяют описать распространение волн от источника света до его изображения. Но имеется более простой способ рассмотрения свойств оптических приборов — метод лучевой, или геометрической, оптики.
Рис. ЗА. Преломление плоской волны на границе раздела двух однородных сред с различными показателями преломления. Волновые фронты, т. е. поверхности постоянной фч>зы, представляют собой плоскости. Эти плоскости показаны тонкими линиями. Штриховыми линиями показаны лучи. Они перпендикулярны к волновым фронтам. Можно считать, что они отвечают траекториям фотонов. Данному свойству волновых фронтон соответствует множество траекторий, из которых на рисунке показаны две. Волна частично отражается, но отраженная волна не показана, чтобы не загромождать рисунка
Рис. ЗВ. Этот рисунок аналогичен предыдущему и служит для иллюстрации рассуждений, приведенных в п. 3. Слева на линзу падает плоская волна. Два луча (или две траектории фотонов) пересекаются в фокусе. Системе волновых фронтов соответствует множество траекторий. Можно обнаружить некоторые несовершенства. Они не связаны с ошибками черчения и означают, что идеальной линзы не существует. Рисунок справедлив лишь для параксиальной области, т. е. для лучей, находящихся в непосредственной близости от осн. На различных поверхностях, разумеется, происходят отражения. Они на рисунке не показаны
Основываясь на точных волновых уравнениях, можно показать, что этот метод дает приближенное решение. Мы рассматриваем прохождение через прибор светового луча, который можно считать траекторией фотона. Какова связь этого луча с волной? В каждой своей точке луч перпендикулярен к фронту волны; в достаточно малой области пространства волна является приближенно плоской волной, и проходящий через эту область луч перпендикулярен к плоскости постоянной фазы. Такое рассуждение позволяет связать частицу и волну. Именно эту оптическую аналогию мы намерены использовать для формулировки волновой теории материальных частиц.
Соответствующие идеи были высказаны впервые Луи де Бройлем в 1923 г.*). Мы должны отдать дань удивления и восхищения его интеллектуальной смелости.
4. Последуем за де Бройлем и допустим, что с каждой движущейся частицей связана волна. Пусть внешние силы отсутствуют и частица движется равномерно. Обозначим энергию частицы Е, импульс р и массу т.
Если с такой частицей связана волна, можно ожидать, что она будет перемещаться в том же направлении, что и сама частица. Пред-
*) De Broglie L. V¦ Ondes et quanta.— C. R., 1923, v. 177, p. 507; A Tentative Theory of Light Quanta.— Phil. Mag., 1924, v. 47, p. 446; Recherches sur la theorie des quanta.— Ann. de Phys., 1925, v. 3, p. 22.
179
ставим нашу волну комплексной волновой функцией:
^(дг, t) = A exp(ix-k—Ш), (4а)
где А — постоянная амплитуда волны; k — волновой вектор; со — частота. Наша задача — попытаться угадать связь между параметрами Л и со, характеризующими волну, и параметрамир, Е и т, характеризующими частицу.
Волна, описываемая волновой функцией гр (лг, t), является плоской. Уравнение плоскости постоянной фазы имеет вид (x-k—соt) = ~ const. Эта плоскость, а значит и волна, распространяется с фазовой скоростью
vf = ak/k2. (4Ь)
На первый взгляд фазовую скорость vf хотелось бы приравнять скорости частицы <о=рс2/Е, но, подумав, мы должны сказать, что скорость частицы разумнее отождествить с групповой скоростью. Именно эта величина дает скорость распространения в пространстве
сигнала или энергии, к тем самым мы рассматриваем частицу как
«сгусток», или «пакет», энергии.
5. В томе III этого курса *) мы получили следующее выражение для групповой скорости волнового пакета:
