Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
Соотношение между биномиальными коэффициентами
Чтобы доказать соотношение (17.26), будем исходить из тождества
SOUO-Ct*)-
х
Здесь в левую часть входит коэффициент при х% в (1 —(— лг)а, умноженный на коэффициент при хс~х в (l-f-*)6 и просуммированный по всем х, т. е. коэффициент при хс в (1 —|— -»с)а (1 +~х)ь = = (1 +лг)а+ь; это и есть выражение в правой части (17.29).
232
Глава //
Пусть а — целое положительное число; b может быть положительным или отрицательным. Заметим также, что при и < О
( и \_ и (и — 1) ... (u — v -f- 2) (и — v -f- 1) _
v) 1-2... (v—1) •
— t 1чр (у—и —2) ... (1 —ц)(—и) _/_no (V — и— 1\
^ 4 1-2 ... (V— l)-v — ^ ’ \ v )'
(17.30)
Отождествляя (L-\~l — / — х) в (17.26) с d и используя (17.30). получаем
«.(-о—г <201 (?7+т1т1)=<2Г)| i+1-i) ¦
что и доказывает равенство (17.26). При выводе первого из выражений последней строки было использовано тождество (17.29), а при приведении к окончательному виду — равенство (17.30).
Глава J8
ПРАВИЛА ОТБОРА И РАСЩЕПЛЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИЙ
1. В гл. 6 мы вычислили, пользуясь зависящим от времени уравнением Шредингера, возрастание вероятности возбуждения | aF (t) |2 = | b (t) |2 стационарного состояния возникающего под действием падающего света, поляризованного по оси X и имеющего интенсивность J (плотность энергии на единичный интервал круговой частоты du> = 2u rfv). Мы нашли, что, если атом находился вначале полностью в стационарном состоянии эта вероятность возбуждения [соотношения (6.17) и (6.6)] равна
I aF(012 = BEFJt =^r\XFE\2 Л, (18.1)
где
XFE={^F> (*1 + *2+ ••• + *„)+?¦) (18‘2а>
представляет собой матричный элемент „^-компоненты дипольного момента” для перехода E-+F. Если свет поляризован в направлениях осей К или Z, то вместо Xfe в (18.1) появляются
Yfe= ОЬ” (У1 + У2+ ••• +Ул)+?-)> (18.26)
ZFE=(^F’ (21 + 22+ ••• +2л)+я)’ (18.2в)
если свет поляризован в направлении с направляющими косинусами alP Oj, а3, то соответствующим выражением является
a-\XpE.-\-a.2Y FE-\-a.3ZpE. (18.2)
Согласно известному эйнштейновскому выводу1), с помощью этих матричных элементов можно вычислить вероятность Apedt того, что атом, находящийся в возбужденном состоянии перейдет в течение малого промежутка времени dt в состояние путем
‘) A. Einstein, Verhandl. deut. physik. Ges., 318 (1916); Phys. Zs.,
18, 121 (1917).
234
Глава 18
спонтанного испускания излучения. Эта величина называется „вероятностью перехода” и дается выражением
afe = - (| ХРЕ I2 +1 Yfe |2 +1 ZFEI2). (18.1а)
Если спектральная линия с частотой (F — E)jh не встречается в спектре, несмотря на то, что существование атома в стационарном состоянии доказывается наличием других линий, то следует заключить, что выражения (18.2а), (18.26), (18.2в) обращаются в нуль. В подавляющем большинстве случаев эти „правила отбора” следуют из трансформационных свойств соответствующих собственных функций. Три вида правил отбора соответствуют свойствам собственных функций относительно преобразований симметрической группы, трехмерной группы вращений и группы отражений. t
Следует, однако, заметить, что из обращения в нуль выражения (18.2) не обязательно следует полное отсутствие линии F -+ Е. При выводе формулы- (18.1) было сделано важное и не всегда полностью оправданное предположение о том, что размеры атома пренебрежимо малы по сравнению с длиной волны света; таким образом, расчеты были проведены так, как если бы возмущающий потенциал был постоянным в направлении светового луча, поскольку он меняется значительно только на расстояниях порядка длины волны. Если учесть то, что в действительности потенциал меняется синусоидально в направлении луча, то получается несколько иное выражение для вероятности перехода (и, следовательно, для времени жизни), причем к ВЕР в (18.1) добавляется дополнительный член В'.
Вероятность перехода, вычисляемая с помощью (18.1) или (18.1а), связана с дипольным излучением; поправка же В' обусловлена квадру-польным и более высокими моментами. Поэтому она примерно в 107 [т. е. ~ (размеры атома/длина волны)2] раз меньше, чем BEF, обязанная дипольному излучению, и ею можно пренебречь по сравнению с BEF> если только (18.2) не обращается в нуль. Тем не менее переходы, для которых (18.2) равно нулю, не являются абсолютно запрещенными, а лишь значительно слабее, чем дипольные переходы. Решающей величиной, определяющей интенсивность квадрупольного излучения, является ква-друпольный матричный элемент
Т СЬ (хгУг + Vs + • • • + хпУ„) Фя). <18'3)
Для получения вероятности квадрупольного перехода ‘) это выражение должно быть подставлено вместо ХРЕ в (18.1).
