Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
Если же тензор энергии-импульса есть интеграл Фурье, то поле Aliv представляется в волновой зоне в виде интеграла по м от отдельных плоских волн (10.4.7), а гравитационный тензор энергии-импульса будет записываться тогда как двойной интеграл j jd(a da' от произведения этих членов. Подынтегральное выражение содержит зависящую от времени экспоненту ехр (— і (со — Ol)') t), однако здесь уже нет никакого «наибольшего § 4. Возбуждение гравитационных волн
283
периода биений», и поэтому мы не станем вычислять среднюю мощность, а подсчитаем полную излучаемую энергию. Эта величина определяется как интеграл от мощности по всему временному интервалу, и в результате множители е~ше1(й'* в двойном интеграле для мощности заменяются величиной
exp (— і (со — со') t) dt = 2п6 (со — со').
Таким образом, энергия, излучаемая в единичный телесный угол, ориентированный вдоль к, выражается в виде однократного интеграла:
oo
4§ = 2gJ co2[A*(k, со) T Xv (k, (O)--L I А (к, (О) I2] Ао, (10.4.16) о
который можно следующим образом записать через пространственно-пространственные компоненты:
оо
g = 2GAiJi lm (k) J со2Tii* (k, со) Tlm (k, со) dx*.
O
В качестве примера рассмотрим систему п свободных частиц, которые, первоначально двигаясь с постоянной скоростью vn, сталкиваются в момент времени t = О в начале координат, а затем вновь разлетаются, теперь уже со скоростями v„. В этом случае тензор энергии-импульса задается следующим образом:
^v (x, <) = 2^^63(x-vni)e(-<) +
п
+ (10.4.17)
П Еп
где PnO = Еп = тп (1 —Vn2)J1/2 и^Рп = ?nvn — энергия и импульс га-й налетающей частицы, Pn0 = En и Pn — аналогичные величины для рассеянных частиц, а 0 — функция ступеньки:
f +1, s>0, 9(s) = | 0) s<0_ (10.4.18)
Функции О и o3 имеют, как известно, следующие интегральные представления:
OO
Л с .+Itos
е« = -2ЙГ J -SITirdu- 8^0 + ' (10-4-19)
— OO
63W=W-J d3keik". (10.4.20) 284
Гл. 10. Гравитационное излучение
[Отметим, что для доказательства (10.4.19) контур интегрирования можно замкнуть большим полукругом в нижней или верхней полуплоскости в зависимости от того, будет ЛИ S <с 0 ИЛИ S > 0, Чтобы доказать (10.4.20), необходимо просто взять фурье-образ; от обеих частей.] Отсюда видно, что Tliv (х, t) (10.4.1) имеет следующий вид:
со—vn-k— is
у gW [ d*k gik'x 1
En J 0)-vn.k+i8Jf
а фурье-образ (10.4.11) выглядит так:
^vfk ШЧ:_ 1 Г у PnV у PnixPnv -[
v ' ' 2лі I^j En (со-,Vn-k — ie) En((a—vn-k+ie J*
Если со = I к I и I vn I < 1, то величина со — vn -к в знаменателе не может обратиться в нуль и член ±ie можно опустить. (Случай частиц, движущихся со скоростью света, будет рассматриваться ниже.) Далее, учитывая, что En (vn-k — со) = рпхкх== (Рп-к)г можно записать Ttlv в виде
^.")=-2ithjtotl- (10а21>
N
Здесь N пробегает по всем номерам частиц как в начальном, так и в конечном состояниях, а знаковый множитель определяется так:
'+1, N в конечном состоянии,
•Плг
-к
N в начальном состоянии.
Отметим, что (10.4.12) будет выполняться, поскольку
1
2лі
AvTlliv (k, CO)=-^
JV
а это обращается в нуль, так как 2 N^jvm"1] лг ест.ь просто разность начального и конечного полных импульсов.
Приходящаяся на единицу телесного угла и на единицу интервала частот гравитационная энергия, излучаемая в направлении к на частоте со, выражается с помощью соотношения (10.4.16) в следующем виде:
\ dQd(u /
dE \ _ Gco2 лп TiiyTijAf
2я* ^J (PN.k) (Pm-к) Х
N, M
x[(P.-v^M)2-4"miv2mM2]. (10.4.22) § 4. Возбуждение гравитационных волн
285
Попытка вычислить полную излучаемую энергию, интегрируя выражение (10.4.22) по со от 0 до оо, приведет к результату,
Jco
da>. Это обусловливается принятым приближением, согласно которому столкновения происходят мгновенно; в действительности же они происходят за время At, и поэтому интеграл по со обрезается при значениям со порядка 1/Ai.
Заметим, что если при столкновениях ни один из импульсов Pn* не меняется, вклады от падающих и разлетающихся частиц в выражении (10.4.21) сокращаются и тензор Tiiv (к, со) обращается в нуль. Гравитационные волны излучаются только тогда, когда частицы действительно ускоряются.
Легко видеть, что выражение (10.4.22) становится бесконечным, если одна из частиц, участвующих в реакции (скажем, с N = 1), имеет нулевую массу и импульс, параллельный вектору к, поскольку тогда P1 •к = E1(S) (P1 -к — 1) -> 0. Однако эта сингулярность только кажущаяся, поскольку, когда P1 становится параллельным к, можно считать, что для всех M Ф 1 величина (Pi'Pm) в (10.4.22) пропорциональна (к-Pm), и поэтому сингулярная часть принимает вид
-?"^? 2 (р".к) (Pi'PM)2— 2 ПмІРІ'РМ).
Мф і Мфі
Мы уже отмечали, что величина SmtIm^*обращается в нуль, если суммировать по всем частицам; поэтому правая часть есть просто—TjlP12, а эта величина в свою очередь равна нулю, так как по предположению частица 1 имеет нулевую массу. Таким образом, применение выражения (10.4.22) к столкновению фотонов, нейтронов или даже, забегая немного вперед, гравитонов не встречает затруднений.
