Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
и
In (і—І-) = -2 С-^L-J7-— , t<tc,
V tC / J и [м + 4 + 3 (1+2ш/3)1/2 (и2 + 4ь)1/21
ІП
U
(_L_l\=2f__^_ Z>Z
VtC / J it[M+4—3(l + 2co/3)1/2(it2 + 4u)1/2J ' c'
Эти интегралы можно представить в замкнутой форме, но интереснее рассмотреть поведение этих решений в очень ранние и в очень поздние моменты времени. При Z Zc имеем
(3[1 + 2ш/3]1/2 —1)
(4 + Зы) (t/tc)
и, следовательно, уравнения (16.4.24) и (16.4.25) имеют решения [36]
^tCi-3[i+2m/3]Vw+3ffl)t (16.4.31)
R ~ ?(! + ("+[1 + 2(0/3^/2)/44 + 3(0) ^g ^ 22)
При Z Zc величина и стремится к значению (16.4.27) и решения принимают форму (16.4.28) и (16.4.29).
tc < 0. В этом случае и монотонно падает от и = оо при Z = O до значения (16.4.27) при Z —»- оо. Квадратные корни в (16.4.25) и (16.4.26) берутся с верхним знаком, и уравнение (16.4.26) имеет § 4. Модели с переменной гравитационной постоянной 667
решение
OO
In (I-H7Ir) =2 \-----.
V Kl > J и {3 (1 +2ш/3)1/2 (и2 + 4и)1/2 — и — 4)
При Z | Zc | находим
(3[l+2to/3]1/2+l) (4+Зш) (г/| tc і)
и, следовательно, уравнения (16.4.24) и (16.4.25) имеют решения [36]
^^[1+20,/3^)/(4 + 3^ (16.4.33)
R ~ г(1 + "-[1 + 2ш/3]1/2/(4 + Зсо) ^g 4 зд
При Z Mc I величина и стремится к значению (16.4.27) и решения (16.4.24) и (16.4.25) снова принимают форму (16.4.28) и и (16.4.29).
Итак, есть три типа решений, которые все ведут себя одинаково при Z I Zc I, но решительно различаются при Z ^ | Zc |. Только простое решение с Zc = О гладко переходит в фридмановское решение с нулевой кривизной (ф const, R <~ Z2/3) в пределе больших со; в решениях с Zc > О или Zc < О при Z —О соответственно ф —V С» ИЛИ ф —у О для любого конечного СО.
Хотя эти решения были получены в предположении нулевого давления и нулевой кривизны, в них проявляются многие из свойств намного более сложных общих решений. В общем случае решения могут быть классифицированы в соответствии с тем, положительна, отрицательна или равна нулю постоянная интегрирования С в выражении (16.4.20). При достаточно больших Z основной вклад в интеграл дает эра преобладания вещества, когда р ~ Л-3, следовательно, интеграл растет как Z и постоянная интегрирования постепенно становится пренебрежимо малой. В этом пределе получаем
? = -?-, (16.4.35)
и все решения сходятся к решению с С = 0, которое, к сожалению, приходится получать численным интегрированием уравнений (16.4.17) и (16.4.35) при р ~ R-3. G другой стороны, при Z, достаточно малых, в (16.4.20) будет доминировать постоянная интегрирования, разумеется, при условии С Ф 0. В этом случае в (16.4.17) члены, соответствующие кривизне и плотности, становятся при t —>¦ 0 пренебрежимо малыми, и решения принимают установленный ранее вид
ф ~ іС1ТЗ[1 + 2(0/3]1/2)/(4 + 3(0^ 4
R ~ j(l + fi>±[l+2(0/3^/2)/(4 + 3(0) ^g 4 щ 668
Гл. Jtt>. Космология: иные модели
с верхним знаком при С > 0 и с нижним — при С < 0. Решения с С = 0 при больших со гладко переходят в решения Фридмана, но решения с С Ф 0 имеют отличия в поведении при Z = O для любых со.
Теория Бранса — Дикке не дает удовлетворительного объяснения численных соотношений, о которых говорилось в начале
параграфа. Вообще говоря, ф/ф и Z"1 могут быть порядка «постоянной Хаббла» Н, а ф — порядка G"1, и поэтому, если становится возможным пренебречь постоянной интегрирования С, уравнение (16.4.35) оказывается более или менее сходным с соотношением (16.4.3). Однако в ранние периоды, когда нельзя пренебречь С, (16.4.3) не выполняется даже приблизительно. Еще важнее то, что загадочное соотношение (16.4.2) вообще не объясняется теорией Бранса — Дикке. В самом деле, в простейшем случае нулевого давления, нулевой кривизны и нулевой постоянной интегрирования С из (16.4.29) и (16.4.28) следует, что H-VtmG- Z"2/<4+3«», поэтому масса (HiHIGc)1'^ убывает со временем, и соотношение 16.4.2) может выполняться лишь в течение короткого периода истории Вселенной.
Обратимся теперь к наблюдательным следствиям этой теории. Ни гравитационное поле, ни поле Бранса — Дикке не оказывают непосредственного воздействия на те ядерные процессы, в которых, как мы считаем, образуется гелий в ранней Вселенной, но они влияют на скорость расширения Вселенной, которая в свою очередь определяет, сколько гелия сможет образоваться (§ 7 гл. 15). Решения с С = 0, полученные численным интегрированием уравнений (16.4.17) и (16.4.20), показывают [36], что в случае ю = 5, к = 0, H0'1 = 9,5-IO9 лет, р0 = 2-Ю-29 г/см3 влияние поля Бранса — Дикке проявляется в сокращении на 55% времени, требующегося для падения температуры до IO9 К, и соответственно в увеличении количества нейтронов, остающихся к началу нуклео-интеза; вследствие этого содержание космологически образо-аавшегося гелия получается около 42% вместо 27% (по массе). При к = —1 и меньшей современной плотности различие между моделями Фридмана и Бранса — Дикке значительно меньше [39]. С другой стороны, если в (16.4.20) С Ф 0, то мы можем получить любую угодную нам скорость расширения ранней Вселенной. Как было отмечено в § 7 гл. 15, при умеренном ускорении расширения выход гелия увеличивается, но если это ускорение слишком большое, то не хватит времени для того, чтобы в реакции п + р —>- d + у образовалось такое количество дейтерия, которое достаточно для «запуска» нуклеосинтеза, и тогда образуется очень мало гелия.
