Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
Предположим теперь, что единица объема самой среды излучает Г (v, J) фотонов в единицу времени в единичном интервале частот при частоте v. Эти фотоны не становятся частью упомянутого луча света, а добавляются к изотропному фону излучения, обсуждаемому ниже. Однако статистика Бозе требует, чтобы к лучу добавлялись фотоны за счет индуцированного излучения (см., например, [52]); его интенсивность (в расчете на один фотон из луча) в единицу времени дается следующей вполне строгой формулой:
N (J) = -Л (V1-Щ-, t)N(t), (15.4.1)
N (I0) = e~xN (J1)
(15.4.2)
где т — оптическая толща:
to
(15.4.3)
(15.4.4) § 4. Излучение и поглощение в межгалактическом пространстве 527'
Теперь для скорости изменения плотности фотонов в луче вместо (15.4.2) имеем
TV(Z)=-Л (v, 4^-, «) JV(*) + Q (V1^M, t)N(t), (15.4.5)
так что оптическая толща теперь равна
(15-4-6)
ti
Если среда находится в тепловом равновесии (но не обязательно в равновесии с излучением), то Q и А связаны формулой Эйнштейна [53]:
Q (v,Z)=exp [--^jA(V1Z), (15.4.7)
где h — постоянная Планка, к — постоянная Больцмана и T1 (Z) — температура среды в момент Z. [Этот результат просто получается из принципа детального равновесия. Число фотонов, спонтанно излученных в единицу времени, в единицу фазового объема при любом данном переходе в веществе, равно числу фотонов, поглощаемых при обратном переходе, умноженному на отношение заселенностей верхнего и нижнего уровней, которое равно просто больцмановскому фактору exp (—hv/kT). Этот фактор зависит только от V и T, и поэтому общее количество спонтанного излучения в единице объема фазового пространства, которое, согласно (15.4.4), есть как раз й, равно полному количеству поглощенного излучения А, умноженному на exp (—JivIkT).] Отсюда оптическая толща равна
11
Даже если среда не находится в строгом тепловом равновесии,
формулы (15.4.7) и (15.4.8), в которых T (Z) рассматривается как эффективная температура, часто являются хорошим приближением. Обычно T > О, т. е. е~% <1, и луч света становится слабее по мере прохождения сквозь среду. Однако иногда в среде возможно обращение заселенностей уровней, эффективная температура при этом отрицательна, е~г>1, и луч усиливается средой. Такие лазерные явления наблюдались внутри Галактики, но пока не обнаружены в межгалактическом пространстве.
Помимо излучения дискретных источников, существует также изотропный фон излучения, создаваемый Вселенной в целом. Пусть
,#'(vо- Z) dv0 есть плотность в момент Z таких фотонов, которые в момент Z0 будут иметь частоту между V0 и v0 + dv0. Если не ¦528
Гл. 15. Космология; эталонная модель
происходит поглощения или излучения, то по тем же соображениям, которые привели к (14.2.17), зависимость j\T (v0, Z) от времени дается просто множителем R~3 (Z), возникающим из-за общего расширения Вселенной. Чтобы вычислить скорость изменения величины jf (v0, t) R3 (Z) вследствие процессов спонтанного излучения, заметим, что фотоны, частоты которых в момент Z0 лежат в интервале [v0, v0 -j- dv01, в момент Z имеют частоты, лежащие в интервале [v0i? (t0)/R (Z), (v0 + dv0) R (t0)/R (Z)]. Следовательно, скорость изменения числа фотонов Ж (v0, Z) R3 (Z) dv0 в собственном объеме R3 (Z) и в интервале частот av0 в момент Z0 равна
где Г — снова интенсивность спонтанного излучения в единице собственного объема и в единичном интервале частот, причем теперь учитываются как сама среда, так и все дискретные источники. Скорость изменения величины jV* (v0, Z) Ri (Z) d\0 из-за поглощения и индуцированного излучения равна
как и в (15.4.5). Таким образом, влияние спонтанного и индуцированного излучения и поглощения приводит к следующей скорости изменения JT (v0, Z) R3 (Z):
4{Ж (V0, Z) R3 (Z)} = Г (V0 ,t) RHt) R (Z0) +
+' О -л (v°4ff - О) ^ оR3 w-
Пользуясь формулой (15.4.4), получим решение этого уравнения:
t
Г (v0, t) R3 (Z) = ехр { - J [Л (v0 - JM, Z') -
ti
(v°4ff' t')]dt') JT{vo, Zi) A3(Zi) + t t + 8Kv02A3 (Z0) j ехр { - j [Л (V0 , Z") -ti f
-Q(v0|ff,Z")]cZZ"}Q(v04M,Z')dZ'
с произвольным Z1. Первый член дает число фотонов, оставшихся к моменту Z1, а второй — число фотонов, излученных с момента Z1; в обоих случаях экспоненциальные множители учитывают влияние § 4. Излучение и поглощение в межгалактическом пространстве 529'
последующего поглощения и индуцированного излучения. Этот результат упрощается, если взять момент Z совпадающим с настоящим моментом Z0, а момент Z1 считать удаленным в прошлое настолько, чтобы можно было почти весь фон считать излученным после этого момента. Тогда современная плотность фотонов на единичный интервал частот равна
Що (V0) = JT (v0, Z0) =
= 8nv„2 j exp { - j [A (V0 4M , Z') -Q (V0 M , Z')] dt' } X
ti t
x?(v„4{15A9)
Если среда находится в тепловом равновесии, то можно, пользуясь (15.4.7), выразить Q через Л и получить плотность фотонов в настоящее время в виде
nYo (V0) = Snvo2 J exp ( - ) Л ( v04м , t) X
ti
х«р{-?[1-«Р (-^r)]*
t
xA(v°wf' *') dL'} dL (15-4-10)
