Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
503
Конечно, вполне возможно, что эталонная модель частично и.ні полностью неверна. Однако ее ценность заключается не н ее непоколебимой справедливости, а в том, что она служит основой для обсуждения огромного разнообразия наблюдаемых данных. Обсуждение этих данных в контексте эталонной космологической модели может привести к уяснению их значения для космологии независимо от того, какая модель окажется правильной в конечном счете. Некоторые другие возможные модели ['селенной будут рассмотрены в следующей главе.
S 1. Уравнения Эйнштейна
Обсуждение динамической космологии начнем с рассмотрения связей, налагаемых уравнениями Эйнштейна на метрику изотропной и однородной Вселенной. В соответствии с результатами § 2 гл. 14 мы можем выбрать метрику Робертсона — Уокера
gtt = -1, git = 0, gkj = R2 (0 gij (X). (15.1.1)
Здесь t — космическая временная координата, і и / пробегают три сопутствующие пространственные координаты г, 6, ср; gtj — метрика трехмерного максимально симметричного пространства:
ї>г = (1 — кг2)-1, gee = г2, &рф = г2 sin2 6,
Htj = O при іф], (15.1.2)
причем к равно +1, —1 или 0.
Неисчезающими компонентами аффинной связности для этой метрики являются только
Ttij = RRgij, (15.1.3)
Itf=Jej, (15.1.4)
= T (#+#-#)-?. (15.1.5) Компоненты тензора Риччи равны
(15.1.6)
(15.1.7)
(15.1.8)
R - 3R
Ru--Jf-,
Rtt = 0,
Rij = Rij-(RR+ 2R) gtj, ¦504
Гл. 15. Космология; эталонная модель
где R1J — тензор Риччи трехмерного пространства, вычисляемый относительно метрики gtj:
^1+??-??- (15-1-9)
Можно не тратить время на вычисление Riпо формуле (15.1.9), если вспомнить, что в максимально симметричном пространстве, согласно (13.2.4),
RtJ=-2kgtJ. (15.1.10)
Используя это выражение в (15.1.8), получим пространственные компоненты пространственно-временного тензора Риччи:
Rij = -(RR + 2R + 2к) gu. (15.1.11)
Тензор энергии-импульса в рассматриваемом случае должен иметь такой же вид, как для идеальной жидкости:
= Pgiiv + (р + р) UllUv, (15.1.12)
где р и р зависят только от t, a Uix определяется равенствами (14.2.13) и (14.2.14):
U* = 1, Ui = 0. (15.1.13)
Правая часть уравнений Эйнштейна равна, таким образом,
S1W = 7V_.i- gilvT\ = -І (р - р) ^v +(Р + Р) UvUv. (15.1.14) Отсюда с учетом (15.1.1), (15.1.13) получим
Stt = j (Р + Зр), (15.1.15)
Sii = 0, (15.1.16).
Su = J (P-P) B2Zij. (15.1.17) При подстановке в уравнения Эйнштейна
Rllv = —
выражений (15.1.6), (15.1.7), (15.1.11) и (15.1.15) — (15.1.17) Z-Z-компонента дает уравнение
ЗІ? = -4лG (р + Sp) R; (15.1.18)
чисто пространственные компоненты сводятся к одному уравнению
RR + 2R2 + 2к = 4лG (р - р) R2, (15.1.19) а остальные компоненты являются тождеством 0 = 0. § 1. У равнения Эйнштейна
505
Исключая R из (15.1.18) и (15.1.19), получаем дифференциаль вое уравнение первого порядка для R (t):
R2+ Ic = ^pR2. (15.1.20)
Кроме того, имеется еще уравнение сохранения энергии (14.2.19):
или, что то же самое,
(pR3) = -3pR2. (15.1.21)
Если дано уравнение состояния р = р (р), его можно использовать для определения р как функции R. Если, например, основной вклад в плотность энергии Вселенной дает нерелятивистское вещество с пренебрежимо малым давлением, из (15.1.21) следует, что
р - R-3 при р < р. (15.1.22)
Если же в плотности энергии преобладает вклад релятивистских частиц, таких, как фотоны, то р = р/3, и из (15.1.21) получаем
p~i?"4 при р = -(15.1.23)
Если зависимость р от R известна, можно, решив уравнение (15.1.20), определить R (t) для всех моментов времени. Таким образом, фундаментальными уравнениями динамической космологии являются уравнения Эйнштейна (15.1.20), уравнение сохранения энергии (15.1.21) и уравнение состояния. Основанные на метрике Робертсона — Уокера космологические модели, в которых R (t) определяется из указанных уравнений, называются моделями Фридмана [1].
[Кстати, полученное таким способом решение R (t) автоматически удовлетворяет уравнениям (15.1.18) и (15.1.19), так как, дифференцируя (15.1.20) по времени и используя (15.1.21), получаем
2 RR = ig* [ _ рД2 + (рДЗ) J = ( _ pR2 _ 3pR2)i
что эквивалентно уравнению (15.1.18). Уравнение (15.1.19) тривиально следует тогда из (15.1.18) и (15.1.20). Возможность работать с одним уравнением (15.1.20) вместо двух — (15.1.18) и (15.1.19) — является, конечно, следствием того, что эти два уравнения не являются функционально независимыми, а связаны через тождества Бианки с уравнением сохранения энергии (15.1.21).] ¦506
Гл. 15. Космология; эталонная модель
Относительно прошлого и будущего расширения Вселенной можно многое узнать уже из простого исследования уравнений (15.1.18) — (15.1.21) без какой-либо конкретизации уравнения состояния. Из (15.1.18) видно, что до тех пор, пока величина
р + 3р остается положительной, «ускорение» R/R отрицательно.
Из того, что в настоящее время R > 0 (по определению) и R/R > 0 (потому что мы наблюдаем красные, а не голубые смещения), следует, что кривая R (Z) обращена выпуклостью вверх и должна проходить через значение R (Z) =Ob некоторый конечный момент времени в прошлом. Будем считать, что в этот момент Z = 0, так что
