Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Ht t при п -> оо, m -*¦ оо не существует, и не существует “n*m lim (Р)
П-* оо
3. Указание. Воспользоваться микротеоремой 2 § 2.1. Другой способ решения: положить = arctg ?< и применить мнкротеорему 1 § 2.1.
4. Имеем при t ф t0
P{l^-?<ol^e}= W р(х) p(y)dxdy.
Ix-yj^e
При е 0 это выражение стремится к
ОО ОО
^ Р (х) Р (у) dx dy = ^ ^ р{х) р (y)dxdy = \;
Хфу — оо —00
значит, при каком-то положительном е оно >1/2. При этом е имеем
т. е. сходимость по вероятности не имеет места.
5—7. Доказательства, известные нам для числовых функций, переносятся на случайные функции.
347
8, 9. Следуют из микротеорем 1, 2 § 2.1.
10. Для любого е>0 и любой точки t0 е [а, 6] существует такая окрестность U точки t0, что для t е U имеет место неравенство || ft — fu || < е • | t — tQ |. Предположим, что ft?=fa для какого-то t е [а, 6]. Тогда существует е > 0 такое, что — —/о11>е-(< — а). Обозначим через to нижнюю грань всех таких t. Ясно, что в этой точке должно быть || ft — /д || = е X X (iQ — а)-, ведь для (е [а, (0) выполняется неравенство \\ft—/а11^е-(< — а); для t, сколь угодно близких к t0 справа,— выполняется противоположное неравенство, а функция f непрерывна (потому что дифференцируема). Получаем, что для t, близких к t0 справа, имеет место неравенство || ft — /а || =
= II (ft ~ ft.) + (ft,, - fa) II < II ft - ftо II + II Ъ - U < «4 ' “ *0 I + + e(7Q— a) = e(t — а), что противоречит определению tB.
11. Доказательство не приводится. Используются непрерывность скалярного произведения и микротеорема 1 § 2.1.
12. Имеем = т, К (t, s).= К (t — s). Математическое
ожидание дифференцируемо (с нулевой производной), так что все дело в том, сколько раз можно взять смешанную вторую производную от корреляционной функции. Частное дифференцирование по t функции от t — s сводится к взятию производной от функции одного переменного, а дифференцирование по s — к взятию производной с обратным знаком. Функция К дифференцируема четыре раза, а К^ (0) не существует; значит, процесс дифференцируем в среднем квадратическом два раза, а три — уже нет.
14*. р , (г) = (2л)-' In \ + при | z | < 1, р , (z) = 0
1 — д/1 — z2 lt
при | z | ^ 1.
15. Распределение (|0, |g) — гауссовское как предел совместных распределений ?0, (?л — ?о)/Л. Это гауссовское распределение имеет нулевое среднее и матрицу ковариаций
/ К dK/ds \ / 1 0 \
\dK/dt d2K/dtds )t=s=, о VO 4 J'
Это означает, если сказать по-другому, что |0 и ?о независимы и имеют нормальные распределения со средними 0 и дисперсиями соответственно 1 и 4.
18. Достаточно провести доказательство при р = 1 (потому что из сходимости в среднем в степени р > 1 следует сходимость в среднем в первой степени). Интеграл в правой части существует в силу теоремы Фубини, потому что Ь
| If (ш) I dt Р (dco)< (b — a) max М | 1, | < оо. а а ^ ^
Интеграл слева в (1)—предел в среднем интегральных сумм
П
У, -(/г — ^_[) при измельчении разбиения а = t0 < 11 < ... i-i ‘
348
... < tn = bt Si e [fi-ь й], а интеграл справа можно предста-
п */
вить в виде суммы Z S dt. Оценим математическое ожи-
дание модуля разности i-x слагаемых:
М
t,
dt
= M
I
S № “S.,)
dt
I
Так как процесс, непрерывный в среднем, равномерно непрерывен в среднем, то, выбирая 6>0 так, чтобы при \t — s| < б, выполнялось неравенство М | ^ | < е, получаем, что для
разбиений с отрезками длины меньше 6 математическое ожидание модуля разности интегральной суммы и интеграла вдоль траектории не превосходит е-(Ь — а). Значит, интегралы в обоих смыслах являются пределами в среднем интегральных сумм, а значит, они с вероятностью 1 совпадают.
19. Это распределение — гауссовское (доказательство для данного частного случая не приводим, чтобы не дублировать решения задачи 3 § 3.1); средние равны 0, а матрица ковариаций имеет вид
t
Kww t) ^ Kww (t, S) ds
t
0
t t
\
f t f*/2 \
V t2l2 /73 )
K.ww t) du ^ ^ Kww (^j s) du ds
0 0 0 (мы помним, что KWw(t,s)= t/\s). Плотность распределения равна
(2яГтУТ2)’1 ехр {- (бГ3х2 ~ Ы~2ху + 2Г1у2)}.
20. = КцУ, s) = e~U~s]j6 ~ Это — ста-
ционарный процесс.
