Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
H = rotA, E =--L^A—grad0 (17.02)
о 8t
63 Остальные уравнения электромагнитного поля удовлетворяются, если векторный и скалярный потенциалы удовлетворяют неоднородным волновым уравнениям
Л * 1 б2 А 4я . Л/Г. 1 б2Ф . /1ТПОЧ
ДА--T-Z- =--]> Дф--- —— = — 4лр (17.03)
с2 dt2 с с» [дії 4 '
и дополнительному соотношению
div А---^-=0. (17.04)
с dt
Как известно, запаздывающие потенциалы
А^"7 J^dv' (17-05)
являются частным решением волновых уравнений (17.03). Эти частные решения удовлетворяют дополнительному соотношению (17.04), так как j и р связаны уравнением непрерывности (1.01). Общее решение волновых уравнений (17.03) есть сумма частного решения (17.05) и общего решения однородных волновых уравнений
При решении задачи о поле, возбужденном заданными токами и зарядами, обычно используют только частное решение в виде запаздывающих потенциалов (17.05). Это делается из физических соображений, так как общее решение однородных уравнений (И7.06) дает электромагнитные волны (в частности, изученные в § 1!1 плоские волны), распространяющиеся в безграничном пространстве и не имеющие в нем источников. Для монохроматических процессов и комплексных амплитуд, введенных в § 2, уравнения (17.02) принимают вид
H =rotA, E = i?A—grad Ф, (il7.07)
причем потенциалы АиФ должны удовлетворять уравнениям
ДА+ ^2A =—— j. А Ф + Ф = — 4яр (17.08)
с
и дополнительному соотношению
div А—і&Ф = 0, (17.09)
показывающему, что скалярный потенциал монохроматического поля выражается через векторный потенциал, подобно тому как плотность заряда р определяется плотностью тока j по формуле (3.06). Поэтому для монохроматического электромагнитного поля оказывается достаточным один векторный потенциал, с помощью которого электрическое и магнитное поля находятся в виде
E= — — (grad div A-f k2A), H=rotA. (17.10)
і k
64 Векторный потенциал удовлетворяет первому из уравнений (17.08), частное решение которого имеет вид
A = -Lp^jdV. (17.11)
CH
Последнее выражение непосредственно следует из первой формулы (17.05). Действительно, мгновенное значение j(0 плотности тока связано с его комплексной амплитудой j((o), входящей в формулы (17.08) и (17.11), соотношением (см. § 2)
J(Z) = Re(Hffl) е-1«'}. (17.12)
Поэтому «запаздывающая» плотность тока
[j] = j ^f--? ^ = Re (J (со) e-W-R/c) } = Re {j (co) e-itt") (17.13)
и ей соответствует комплексная амплитуда е''1"]' (ш), благодаря чему и приходим к выражению (17.11). Можно убедиться непосредственной проверкой, что выражение (17.11) действительно удовлетворяет первому уравнению (17.08). Опережающим потенциалам, которые тоже удовлетворяют уравнениям (17.03), соответствуют j (t+R/c) и e~ihR\(<u) ; при замене eihR на е-'йд в решении (17J12) поля (17.111) уже не будут удовлетворять условиям (10.06) и (10.07), а при lm&>0 будут неограниченно возрастать при jR-j-oo.
Векторный потенциал удобно применять при расчете полей в свободном пространстве, возбуждаемом заданными источниками. Далее в теории излучения и диффракции электромагнитных волн рассмотрен случай, когда монохроматическое электромагнитное поле в пустоте возбуждается как электрическими, так и магнитными токами и, следовательно, удовлетворяет уравнениям
rot E = і ? H--— jm, rotH=—iAE + —je, (17.14)
с с
решение которых записывается в виде (см. задачу 1)
E=--L_ (grad div Ae + Ae) — rot Air
і k
H = rot Ae--— (grad div Am + k2 Am),
(17.15)
ik
JkR _ , . JkR
где
1 л ЛІЯА 1 Л fll(4A
Ae = -U-?-Je dV, Ara=-H-V imdV (17.16)
R s ' CjR
суть запаздывающие векторные потенциалы — электрический (Ae) и магнитный (Am).
§ 18. Векторы Герца
Наряду с векторным потенциалом А и скалярным потенциалом Ф вводят еще один потенциал — вектор Герца, который бу-3-240 65 дем обозначать через П. Вектор Герца позволяет вычислить векторный и скалярный потенциалы с помощью соотношений
А—--?^, ф--divn» (18.01)
ел а/
причем получаемые по этим формулам потенциалы АиФ автоматически удовлетворяют дополнительному соотношению (17.04). С помощью вектора Герца просто и изящно выражается поле .'элементарного диполя (вибратора Герца), причем вектор Герца оказывается непосредственно связанным с дипольным моментом вибратора.
В теории монохроматических электромагнитных полей эти соотношения принимают вид
А = — іШ, Ф = — divll. (18.02)
Вектор П, отличающийся лишь постоянным множителем от векторного потенциала А, определяет напряженность электрического и магнитного полей по формулам
E = graddivn + &2II, Н = —iferotu, (18.03)
вытекающим из формул (17.10).
В сущности говоря, для монохроматических полей в векторе Герца нет особой необходимости — его может вполне заменить векторный потенциал. Однако по традиции вектор Герца вводится при исследовании электромагнитного поля в пустом пространстве (без источников) или в ограниченной части такого пространства. В этих случаях вектор П удовлетворяет однородному волновому уравнению (уравнению Гельмгольца)
ДП + ?2П = 0. (18.04)
