Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Доказанная выше ортогональность собственных колебаний позволяет решить задачу о вынужденных колебаниях.
§ 89. Возбуждение колебаний в объемном резонаторе
Электромагнитное поле Е, Н, возбуждаемое источниками и удовлетворяющее уравнениям (88.01), естественно искать в виде
E = E' +E', H = H,' +H'. (89.01
Здесь Ei и Ht суть поперечные (или соленоидальные) части электрического и магнитного полей, удовлетворяющие условиям
div (є EO = 0, div (fx №) = 0, (89.02)
a Ei и H' суть продольные (или потенциальные) части электрического и магнитного полей, которые можно записать в виде
E'= — grad Фе, H' = —grad Фт . (89.03
Функции Фе и Фт можно назвать электрическим и магнитным потенциалом (скалярным). Заметим, что поперечные и продольные
357 части поля имеют здесь другой смысл, чем в теории возбуждения волноводов.
Так как векторные функции Es и Hs удовлетворяют, как легко доказать из уравнений (88.02), соотношениям (89.02), то поперечные части электрического и магнитного полей вынужденного колебания естественно искать в виде рядов
Е< = 2М, Eet H'= 2 Я, Н„ (89.04)
где и Bs— постоянные коэффициенты, которые будут определены в дальнейшем. Для электрического и магнитного полей нужно брать разложения с !различными коэффициентами As и Bs\ это вытекает, в частности, из сравнения с колебаниями в простом резонансном контуре (см. конец параграфа).
Почленно дифференцируя ряды (89.04) и пользуясь уравнениями (88.02), получаем
rot E = іц 2 ks As Hs, rot H = — ie 2 K Bs Es. (89.05)
Подстановка этих тождеств в исходные уравнения (88.01) дает
іB^ikА,-kt Bs) Es= je-ійеЕ«,
с
ip, 2 (kt As — k Bs) Hs = — — j" + ikp H'. (89.06)
с
Для выполнения последних соотношений прежде всего необходимо, чтобы их правые части были соленоидальными векторами, т. е. имели равную нулю расходимость (дивергенцию). Учитывая формулы (3.07) и (89.03), из требования соленоидальности получаем уравнения для электрического и магнитного потенциалов
div (є grad Фе)= — 4яре, div (р grad ф™)= — 4ярт . (89.07)
Эти соотношения имеют статический характер и являются обобщением уравнения Пуассона на случай неоднородной среды. Уравнения (89.07) можно получить более просто, применяя соотношения (89.01) и (3.08). Уравнения (89.07) решаются методами электростатики и магнитостатики, в частности методом отражений или разложением в ряды (граничные условия для Ei и Hz те же, что и для Ei и H'). На этом останавливаться не будем, поскольку потенциалы Фе и Фш и связанная с ними продольная часть электромагнитного поля резонансными свойствами не обладают.
Перейдем к определению поперечной части поля. При соленоидальности правых частей соотношений (89.06) можно эти правые части разложить в ряды
E' = -EasEs,
с с
— — jm -Hftu H' = Л 2 ft, Hs (89.08)
с с
если векторные функции eEs образуют полную систему (а также векторные функции |iHs). Коэффициенты as и bs этих разложений
'358 можно найти, пользуясь формулами (88.07) и (88.09), а также добавочными условиями ортогональности
j е Es E' dV = 0, j (і Hs H' dV = 0, (89.09)
которые выводятся из соотношений JE' rot H5 dV = § [Hs E'] ndS, j H' rot Es dV= I [Es H'] ndS
и граничных условий, сформулированных в § 88. Таким образом,
as = -L j je Es dV, bs = -L J jm Hs dV. (89.10)
JVs J Ns
Подставляя разложения (89.08) в уравнения, видим, что последние выполняются, если коэффициенты As и Bs удовлетворяют системе линейных уравнений
i(ico/U—(HsBs) =as, і (ojHS—(oBs) =bs, (89.11)
откуда находим
^ _ _j to as — COs bs ? _ _. с0f,as — a bs ^gg ^
со2 — cof S CO2 — CO2
Поперечная часть электромагнитного поля в резонаторе определяется формулами (89.04), (89.10) и (89.12).
Формулы (89.:1,2) можно получить несколько иным способом. Воспользуемся тождествами
4ji
div [Es Н] = ife EEs + iks Li HHs- — je Es,
с
4jl
div [EHS] = iks s EEs + ifyi HHs — — jm Hs, '89.13)
с
вытекающими из уравнений (88.01) и (88.02). Эти тождества аналогичны соотношениям (88.04). Интегрируя по всему объему, замятому полем, получим
со j е ЕЕ,« dV -f- Cos j |*HHS dV= j. j jeEsdV,
o>s J є EEsrfV + со j \imsdV= j j jm HsdK. (89.14)
Пользуясь соотношениями (88.07), (88.09), (89.01), (89.04) и (89.09), приходим к выражениям
Л= - .-- f (COjeEs-COs jm Hs) dV,
(со2-«2) Ns
Bs=- --Ц— f (cosjeEs — cojm Hs) dV, (89.15)
((O2-(Oi)JVs
эквивалентным формулам (89.10) и (89.12). Заметим, что формулы (88.04) и
'359 (89.13) и получающиеся из этих формул интепралиные соотношения можно рассматривать как обобщение леммы Лоренца (§ 73) на случай двух полей, колеблющихся с разными частотами.
Формулы (89.12) и (89.15) указывают на наличие резонанса, наступающего всякий раз, когда частота возбуждения ю близка к частоте OJs одного из собственных колебаний резонатора (определенного согласно § 88). Если резонатор не имеет потерь, то частота COs вещественна, и при a>=<Os коэффициенты А, и Bs и определяемое ими поле Обращается в бесконечность. Піри учете потерь коэффициенты As и Bs остаются конечными, так как вещественная частота со и комплексная частота <as не могут точно быть равными друг другу; однако при coajkus эти коэффициенты (и поля) принимают большие значения. Такие (резонансные эффекты хорошо известны в теории колебательных контуров; в задаче 1 показано, что эта теория приводит к тем же соотношениям, что и полученные выше.
