Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
? = со/с = Vg2+ (q я/Г)2, q= 0,1,2,..., (81.04)
где g — поперечное волновое число соответствующей электрической волны в волноводе.
Стоячие магнитные волны в цилиндрических резонаторах можно рассчитать с помощью магнитного вектора Герца, имеющего одну составляющую IImz=IImSinftz, где Пт = Пт(х, у) —та же функция, что и в § 40, a h — продольное волновое число соответствующей волны в волноводе. Поле стоячей магнитной волны имеет составляющие
Ex = ik — sin hz, Ey=- ik — sin hz, Ez = 0, х ду дх
Hx = h — cos hz, Hy= h — cos hz, Hz = g2 П™ sin hz, (81.05)
дх ду
'333
Рис. 111. Цилиндрический объемный резонатор (круглый цилиндр) 1 автоматически удовлетворяющие условиям (81.01) при 2=0. При z=l составляющие Ex и Ey исчезают, если выполняется дополнительное условие sinW=0, которое приводит к соотношению
h=qn/l, q=l, 2,..., (81.06)
поскольку значение q=0 в днанном случае недопустимо. Формулы (81.05) и (81.06) определяют колебание с волновым числом
к = Vgi-Tiqnll?, Я= 1,2,... (81.07)
Волны в круглом и прямоугольном волноводах обозначаются обычно как Emn и Hmn (см. § 41 и 42). Колебания соответствующего цилиндрического резонатора обозначаются аналогичным образом, но с добавлением третьего индекса q, входящего в формулы (81.03) и (81.06). Если g есть поперечное волновое число волны Emn, то формула (81.04) определяет собственную частоту колебания Emnq в цилиндрическом резонаторе, а формулы (81.02) — его поле. Если же g соответствует волне Hmn в волноводе, то по формуле (81.07) получаем частоту колебания Hmnq в резонаторе, а по формулам (81.05) —его поле.
Так определяются колебания Emnq и Hmnq в цилиндрических резонаторах, причем колебания Emn0 существуют, а колебания Hmnо отсутствуют. Формула (81.04) показывает, что собственная частота колебания Етпо совпадает с критической частотой волны Emn в волноводе (k=g). Собственные частоты всех других колебаний Emnq (или Hmnд) выше критических частот соответствующих ВОЛН Emп (или Hmn) в волноводе.
Как уже отмечалось в § 80, основным колебанием резонатора называется колебание с наинизшей собственной частотой. Из формул (81.04) и (81.07) следует, что для длинных резонаторов (I велико) основным колебанием будет магнитная стоячая волна с индексом <7=1; для коротких резонаторов (I мало) основным колебанием будет электрическая стоячая волна с индексом <7=0, поскольку при q?=0 второе слагаемое под корнем в формулах (81.04) и (81.07) будет велико. Так, для кругового цилиндра основным колебанием может быть либо колебание Eow с волновым числом ? = 2,405fa, либо колебание Яш с волновым числом
k = У (1,841/а)2 + (я//)2. (81.08)
Собственные частоты этих колебаний совпадают при 1\2ата 1,015. При больших отношениях //2а колебание Нщ является основным, причем его частота является двухкратной (поляризационное вырождение, см. § 42). При,меньших отношениях Ц2а основным будет колебание ?ою, частоту которого нетрудно вычислить по формуле ? = 2,405/а. Эта частота не зависит от длины резонатора I и является невырожденной. Обычно в цилиндрических !резонаторах применяется колебание Еою, причем 1<.2а. На рис. 112 и 113 изображено распределение электрических (сплошных) и магнитных (штриховых) ошгавых линий в цилиндрическом резонаторе піри колебаниях ?0ю и Hm. 334 Рис. 112. Колебание Erno в цилиндрическом резонаторе
РИС. 113. Колебание Яці b цшшнд' рическом резонаторе
Выведенные выше соотношения можно применить к прямоугольной полости, рассматривая ее как отрезок прямоугольного волновода. Поскольку ДЛЯ ВОЛН Emn И ffmn В ГПрЯМОуТО ЛЬНОМ ВОЛНОВОДС
g2—(mn/a)2+ (tin?)2, (81.09)
то при подстановке этого выражения в формулы (81.04) -и (81.07) приходим к соотношению (80.06), полученному в § 80 несколько иным способом. В обозначениях этого параграфа собственное колебание (80.10) прямоугольной полости можно назвать колебанием Emnо (и в частности, колебание 110, изображенное на рис. 110, — колебанием ?цо), поскольку поля (80.10) получаются из формул (81.02), если положить
Пе = (Ctg2) sin LUH- gin fHlL ^=0. (81.10)
a b
Отмеченное в § 80 двухкратное вырождение собственных частот объясняется с ВОЛНОВОДНОЙ ТОЧКИ ЗреНИЯ ТЄМ, ЧТО ВОЛНа Emn И Hmn имеют одинаковое поперечное волновое число (81.09). Этого вырождения нет при q=0, поскольку колебания Hmn0 в резонаторе отсутствуют, а также ,при т = 0 или п=0, поскольку волн E0n и Emо в волноводе не бывает.
Следует, однако, признать, что волноводная трактовка прямоугольной полости является искусственной, поскольку ось г никак не отличается для этой полости от осей х и г/; при выборе оси х в качестве оси волновода колебание 110 (см. рис. 110) придется назвать уже колебанием Hm- Поэтому изложение, данное в § 80, представляется более естественным.
В заключение рассмотрим собственные колебания отрезка коаксиальной линии, закороченной с обоих концов поперечными перегородками Z= 0 и Z=I. Рассматривая коаксиальную линию как особый случай волновода (§ 45), получим колебания Emnq и Hmnq в коаксиальном резонаторе. В коаксиальной линии существует также основная (поперечная) волна, поле которой вычисляется с помощью составляющей Пе2 электрического вектора Герца (§ 29). Поэтому стоячую основную волну можно получить из формул
