Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Знак |з указывает, что отбираются лишь графики нужного типа.
Подставив в правую часть (98) вклады графиков (97), найдем первые 4-приводимые диаграммы, а все остальные получим путем итераций уравнения (98).
Введем несимметричную вершину без внешних линий:
Г»*%=Х*1*2К- (99>
которая отличается от ампутированной функции ?4 лишь отсут-
4
ствием в прямом канале диаграммы >—<. . Учитывая полную?
232
симметричность Г4, уравнение (98) можно тогда переписать в виде
Г, I =-3
(100)
Расмотрим первые шаги итерационной процедуры. Взяв Г в виде суммы трех графиков (97), находим производную
Г4=бГ/бу4:
(101>
где sym обозначает полную симметризацию по аргументам 1—4. При подстановке (101) в (100) нужно удерживать адшь те-
вклады в Г4, которые имеют опасное 2-сечение вида іХХ^Ш~2 -Например, после симметризации
(102>
нужно удерживать лишь первое слагаемое в правой части. Для второго из графиков (101) опасное 2-сечение имеется, как и в> (102), лишь в одном канале из трех, а для последнего графика (101) —в двух'каналах из трех. Поэтому ,,опасная часть" (101) представляется в виде
(103)
где Sym обозначает уже не полную симметризацию по аргументам 1—4, а частичную симметризацию, характерную для ядра (99): 1=^2, 3=е*4, (12)ч*(34). Подставив затем (103) в (100), получаем равенство
16
(104>
которое должно определить первые 4-приводимые графики Г.
Ясно, что правую часть (104) можно получить дифференцированием по Y2 восьми кольцевых линий диаграммы
16-8
(105>
23S
^напомним, что дифференцирование по у2 эквивалентно разрыву линии). Но было бы неверно утверждать, что диаграмма (105) и есть 4-приводимая часть Г в данном" приближении. Дело в том, что в производной (105) по Y2 опасные диаграммы с 3-се-чениями происходят не только от дифференцирования по коль-девым линиям, но и от дифференцирования „перекладины" у22. -что дает в Г2 дополнительное слагаемое
которого нет в правой части (104). Множитель 4 в (106) есть число „перекладин", множитель 2 поставлен потому, что каждая из них содержит (см. (99)) два графика >—< Сразу же
отметим, что подобный вопрос возник лишь потому, что число „перекладин" равно четырем. Если бы их было больше, то дифференцирование по ним не вело бы к опасным графикам.
Итак, мы должны добавить к диаграмме (105) некоторый график или графики для того, чтобы скомпенсировать в производной Г2 дополнительные опасные диаграммы (106), которых знет в правой части (104).
Опасная часть (106) имеет вид
, (107)
поскольку в нее дают вклад лишь графики >—< вершины
(99), порождающие 23 = 8 слагаемых, из которых лишь четыре трафика вида (107) имеют 3-сечение в прямом канале. Ясно, что диаграмма (107) получается дифференцированием по у2 графика, имеющего вид куба, так что для компенсации графика (107) в производной T2 к диаграмме (105) следует добавить куб с коэффициентом 4 • 2 • 4/16 •8-12 = 1/48 (все двенадцать линий куба эквивалентны).
Итак, в рассматриваемом приближении 4-приводимая часть Г есть сумма диаграммы (105) и куба с коэффициентом 1/48.
Следующие шаги итерационной процедуры выполняются проще, чем рассмотренный, поскольку теперь дифференцирование . по „перекладинам" уже не приводит к опасным графикам. Например, находя Г4 из (105) (аномальный куб не имеет верши-
-234
ны Y4 и поэтому не участвует в последующих итерациях), по-
лучаем
16-д
Ш
sym
(108)
При подстановке этого выражения в (100) следует учесть, что к опасным графикам приводит лишь один из трех каналов (108), так что в этом приближении
откуда видно, что в данном приближении 4-приводимая часть Г имеет вид кольца с пятью „перекладинами" Y22 с коэффициентом 1/32-10. На следующем шаге итераций получим кольцо с шестью „перекладинами", и т. д. Окончательный результат:
4~п часть Г = —
Коэффициенты при кольцах соответствуют ряду логарифма, так что сумму колец можно записать компактно в виде 1/2 • tr In3(I +Y22?22/2), где In3 обозначает логарифм без трех первых членов своего ряда.
Анализ 4-неприводимых графиков Г производится, как обычно, отбором 4-н. части равенства (10). Мы приведем лишь результат: Г содержит все 4-неприводимые графики функционала
W(Ai Рг"1 Уь А?2, A3-+уз, A4-^y4) со своими коэффициентами, исключая особые графики, которые имеют несвязные или 1-приводимые производные по какой-нибудь из переменных
Y2-. Это, во-первых, график -¦"V = ^р>/у. , получаемый ука-
занной в аргументах W заменой из графика •—¦ ^A1HA1 . • Во-вторых, это особые 4-неприводимые графики
А* X' 0^' °С* oO'O-'t
имеющие несвязную производную по одной из вершин уз ИЛИу4» и график /2^ , имеющий !-приводимую производную по у*.
235
В отношении коэффициентов исключениями являются квадра-тичные по вершинам графики ф ц , которые входят в
Г со знаком минус, тогда в W все графики входят со знаком плюс. Отметим, что точно такие же ,,правила исключений" действовали и для всех низших преобразований Лежандра.
Отметим также, что эти правила, равно как и утверждение (109), справедливы для всех теорий с любым числом отличных от нуля потенциалов An*
