Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
с нетривиальными 3- и даже 2-сечениями (они показаны пунктиром). Отсюда ясно, что если все графики Г все же оказываются 3-неприводимыми, то лишь потому, что порождаемые последними членами в правой части (87) приводимые графики (91) сокращаются с графиками того же типа, порождаемыми другими слагаемыми в правой части (87).
Прямая проверка взаимной компенсации приводимых диаграмм является делом очень сложным, но в работе '[63] предложен простой обходный прием для доказательства этих компенсаций. Он сводится к следующему рассуждению: допустим, что-
Г содержит 3-приводимый график, т. е. график вида
с двумя нетривиальными блоками. Тогда в производной Tz с-
(91)
226
необходимостью содержатся и такие графики, которые порождаются разрывом одной из линий 3-сечения, т. е. графики вида
--0==0— с нетривиальными блоками. Мы будем называть
их графиками с нетривиальным 2-сечением в прямом канале или просто „опасными" графиками. Если мы сумеем доказать, что вычисленная в некотором приближении правая часть (87) не содержит опасных графиков, то отсюда будет следовать, что возникающие в процессе итераций графики следующего порядка являются 3-неприводимыми. Суть идеи проста: если бы не было компенсации графиков типа (91), то в правой части (87) с необходимостью присутствовали бы и графики с нетривиальным 2-сечением в прямом канале, и если-мы убедились, что последних нет, то мы тем самым косвенно доказали взаимную компенсацию графиков типа (91).
Доказывать будем, как всегда, по индукции: допустим, что все графики Г вплоть до некоторого порядка являются 3-неприводимыми, и покажем, что построенная по этим графикам правая часть (87) не может содержать опасных графиков с нетривиальным 2-сечением в прямом канале, следовательно, графики следующего порядка также будут 3-неприводимыми.
Доказательство сводится к последовательному разбору вариантов. Например, допустим, что последний член в правой
части (87) содержит опасный график вида —0—0— . Ясно, что это возможно лишь тогда, когда блок Г3 = бГ/6у3 содержцт
график типа . Но это противоречит предположению
о 3-неприводимости тех графиков, по которым вычислена производная T3. Действительно, дифференцирование графика по уз -эквивалентно вырыванию всеми возможными способами вершины у3, откуда ясно, что соединив вместе вершиной уз внешние линии производной Г3, хмы возвращаемся с точностью до коэффициентов к исходным графикам. Если в производной F3 име-
4
ются графики вида -0-®^ 'то среди дифференцируемых гра-
фиков Г должны быть графики вида
2-приводимость
которых противоречит индукционному предположению.
Тем самым мы доказали, что последний член в правой части (87) не может содержать опасных графиков. Рассмотрим теперь предпоследний член. Он имеет 2-сечение, отделяющее блок
227
Ґ2 от нижней линии, но это сечение не в прямом канале и поэтому нас не интересует. Нетривиальное 2-сечение в прямом канале может возникнуть лишь от графиков типа —Q-Q-
в производной --ф— ' но это опять противоречит индукционному предположению, согласно которому блок должен состоять только из 3-неприводимых графиков.
Перейдем теперь к слагаемым с блоками * ко-
торые определены соотношениями (46) — (49) и имеют довольно сложную структуру. В качестве примера рассмотрим вклад в (87) от блока с k = 1 и г = 2:
;Й^-ЧІЕМ- (92)
Входящая сюда величина Гзз определена в виде ряда соотношением (74).
Довольно утомительный, но не встречающий каких-либо принципиальных трудностей разбор вариантов показывает, что наличие в диаграммах (92) нетривиальных 2-сечений в прямом канале всякий раз противоречит индукционному предположению о 3-неприводимости графиков, из которых строятся входящие в (92) блоки. Показанные в (92) пунктиром сечения не опасны, так как правый из отсекаемых блоков — вершина уз — тривиален. Опасное 2-сечение в блоке ^^>-^ может воз-
никнуть лишь от графиков вида —Щ-z в производной
¦> но присутствие таких графиков противоречит индукционному предположению, гарантирующему 3-неприводи-
мость всех графиков блока Так же можно проана-
лизировать и другие слагаемые (92), причем не следует упускать из виду возможность существования таких 2-сечений, в которых одна из рассекаемых линий принадлежит одному из
228
блоков, а вторая — другому. Но полное число возможных типов 2-сечений конечно, и результат будет один: присутствие опасных 2-сечений в правой части (87) противоречит предположению о 3-неприводимости графиков, из которых строятся входящие в (87) блоки. На этом мы будем считать доказательство 3-неприводимости законченным, отсылая интересующегося подробностями читателя к работе [63].
Вторая часть доказательства (90) — сравнение коэффициентов при 3-неприводимых графиках Г и W—также совершенно стандартна: нужно отобрать 3-н. часть равенства (10) для т = 3, выделив предварительно из W особые графики (89), а из Г— слагаемое 1/2 • tr In р2 и выразив потенциалы Аь A2, Аз в правой части (10) через Г с помощью уравнений стационарности
(її).
Приведем без вывода обобщения соотношений (1.229), (84) и (90). При переходе от универсальных обозначений к обычным слагаемые ,типа tr In А, tr In ?2 войдут от каждого из полей, причем для фермионных составляющих — с обратным знаком. Если поле комплексное, а под пропагатором понимается функция Грина я?>ф+, то коэффициент при tr In удваивается. Например, для рассмотренного в п. 1.4.6 взаимодействия Юкавы (включая квантовую электродинамику) вместо 1/2 • tr In ?2 следует писать 1/2 • tr In ?2— —tr In ?2/, где ?2 — пропагатор бозонного поля ф, ?2'— фермионный пропагатор я|п|;+.
