Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Более регулярным методом построения аномальных решений является вариационный, которому в сущности и посвящена вся гл. VI. Идея этого метода состоит в следующем: исходная задача решения уравнений движения-сводится к вариационной путем конструирования такого функционала, для которого уравнения движения играют роль уравнений Эйлера, определяющих точку стационарности. На этом языке вырождение решения означает -неединственность точки стационарности, а спонтанному нарушению симметрии отвечает такая ситуация, когда варьируемый функционал инвариантен по отношению к некоторой группе симметрии, но имеет неинвариантную (и потому обязательно вырожденную) точку стационарности.
С вычислительной точки зрения преимущество этого метода ,состоит в том, что варьируемый функционал можно строить по теории возмущений, не потеряв при этом возможности находить
•90
аномальные решения. Это нетрудно понять: координаты точки стационарности аналитической по некоторым параметрам функции, например, полинома могут зависеть от этих параметров неаналитически.
Иллюстрацией этой общей идеи может послужить обсуждавшийся в п. 8.1 метод вычисления связных функций Грина Wn по известному функционалу Г(аі, А") (все обозначения такие же, как в п. 8.1). В этом методе первая связная функция W\ находится как точка стационарности функционала (209), 1-неприводимые функции Грина определяются значениями производных функционала (209) в точке стационарности, а связк-ые функции Wn с п^2 строятся по простому правилу (214) из 1-неприводимых. При таком способе вычислений появляется возможность найти аномальное решение для W{ = а\ даже тогда, когда варьируемый функционал (209) взят в некотором конечном порядке теории возмущений. Наличие или отсутствие таких решений зависит, конечно, от явного вида варьируемого функционала, а он в свою очередь определяется функционалом действия. В конкретных вычислениях, например в модели Голд-стоуна [20], варьируемый функционал строится в виде ряда по числу петель, а аномальное решение, если оно есть, появляется уже в самом низшем беспетлевом приближении (231).
На этом и остановимся, поскольку обсуждению спонтанного нарушения симметрии и вариационных методов посвящена отдельная гл. VI, а здесь мы хотели лишь определить соответствующие понятия и указать, что введенное в предыдущих разделах преобразование Лежандра имеет самое непосредственное отношение к проблеме спонтанного нарушения симметрии.
В заключение сделаем замечание, которое следует помнить, читая гл. IV и V. В этой главе все формулы писались применительно к обычной (псевдоевклидовой) квантовой теории поля, но сами по себе технические методы — диаграммные представления, функциональные интегралы, уравнения в вариационных производных — совершенно универсальны. Рассматривая в последующих главах евклидову теорию поля и статистическую физику, мы не будет считать себя обязанными каждый раз повторять стандартные построения этой главы. Обсуждаться будут лишь специфические особенности тех или иных представлений. Поэтому читатель должен ясно понимать и помнить следующее: если для некоторого объекта, к какой-бы теории он ни относился, получено представление типа (84), то отсюда автоматически следует, что для него справедливы стандартные диаграммные представления § 4, представление в виде функционального интеграла, получаемое по формулам (166), (167), наконец, для него всегда можно написать уравнения в вариационных производных (уравнения Швингера) по стандартному рецепту (183). Все эти построения элементарны и мы на них, как правило, останавливаться не будем.
ГЛАВА IL
КОНКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ
Три первых параграфа этой главы содержат краткие справочные сведения о различных полях и свертках, а три последних дополняют гл. I. Такое размещение материала объясняется тем,, что в последних параграфах существенно используются сведения трех первых.
§ 1. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
Изложенный в предыдущей главе полевой формализм вполне приложим и к обычной квантовой механике систем с конечным числом степеней свободы. Простейший пример — частица в заданном внешнем поле. Соответствующий классический лагранжиан имеет вид 2, = mq2j2~-%r(q), где q — координата частицы,
q=dq/dt— скорость, °1У—заданный потенциал.
В зависимости от вида потенциала в квантовой механике ставится либо задача о нахождении уровней энергии и соответствующих волновых функций, либо задача рассеяния. Обе можно решать с помощью полевых объектов: производящих функционалов S-матрицы и функций Грина.
С технической точки зрения существенно, каким образом полный лагранжиан разбивается на свободную часть ST0 и взаимодействие. Наибольшее сходство с традиционным аппаратом теории поля достигается тогда, когда в качестве i?0 берется осцилляторный лагранжиан, а остальная часть потенциала считается лагранжианом взаимодействия (ангармонический осциллятор). С физической точки зрения такое разбиение оправданно для задач с чисто дискретным спектром (надеяться на сходимость рядов теории возмущений можно лишь тогда, когда взаимодействие не приводит к качественному изменению спектра). Второй вариант разбиения, когда за «Заберется только кинетиче-
