Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
обычно требованием UZ1=(Oj с?рен|0)—0, что при учете (234) дает
а= (01 срг 10)= Wи операция растяжения Z фиксируется каким-либо условием, накладываемым на ренормированный пропагатор DpeH = Z_1DZ~1T. Для релятивистских взаимодействий перенормировка сопровождается перестройкой рядов теории возмущений и устранением ультрафиолетовых расходимостей [1], но эти вопросы выходят за рамки данной книги.
В заключение получим формулу ренормировочного преобразования для функционала действия. Исходной точкой будет
представление (164): напишем G' (А) — с1 J Dcp ехр і [S' (ср) + <рА|
и будем искать преобразованный функционал действия S' (ср) и нормировочную постоянную с1 по известному функционалу Gr (А). Из (164) и аналогичной (233) формулы преобразования для G получаем
а (А) = с\ Dy ехр і [S(<p) + (ср - a) Z-1Al (237)
где с — постоянная, определенная соотношением (163). Сделав замену cp = Z<p' + a переменной интегрирования в (237)„ находим
G7 (А) = с det Z j Dcp ехр і [S (Zcp + а) + срА ].
88
Константа detZ есть якобиан замены. Следовательно,
c' = cdetZ, S' (<р) = S (Zt + а). (238)
Множитель del Z можно, конечно, присоединить в виде аддитивной добавки к преобразованному действию S', но мы предпочтем форму записи (238).
Итак, ренормировочное преобразование (232) гайзенбергов-ского поля эквивалентно преобразованию (238) функционала действия, так что преобразованные (ренормированные) функции Грина можно вычислять по обычным правилам исходя из преобразованного должным образом функционала действия. Преобразование (238) на языке [1] соответствует введению контрчленов в лагранжиан.
§ 10. АНОМАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ ГРИНА, СПОНТАННОЕ
НАРУШЕНИЕ СИММЕТРИИ
До сих пор всегда считалось, что функции Грина однозначно определяются функционалом действия, и если бы ряды теории возмущений сходились, то так оно, конечно, и было бы. Имеется, однако, большой класс очень важных в практическом отношении задач (например, вся теория фазовых переходов в статистической физике), для которых ряды теории возмущений заведомо расходятся. Здесь можно было бы возразить, что исходное соотношение (58) определяет функции Грина однозначно и независимо от теории возмущений. Но это верно лишь тогда, когда все входящие в (58) величины математически корректны, а это далеко не всегда так. В интересующем нас сейчас случае речь идет, как правило, о трансляционно-инвариант-ных системах, рассматриваемых в бесконечном объеме, а для таких систем обычный операторный формализм квантовой теории не может быть вполне корректным хотя бы уже потому, что энергия основного состояния в силу трансляционной инвариантности должна быть пропорциональной объему системы, следовательно, бесконечной.
Поэтому возникает потребность дать новое определение функциям Грина. Это можно сделать, взяв за основу систему уравнений движения (194), (195) и сказав, что эти уравнения описывают динамику системы с заданным действием, а искомые функции Грина, точнее, их производящий функционал, есть по определению решение уравнений движения.* Такое определение уже не предполагает однозначности функций Грина— решений может быть много.
Теории возмущений соответствует итерационное решение уравнений, которое называют нормальным; всякое другое решение, если оно существует, считается аномальным. Аномальное-
* Такой подход положен в основу определения функций Грина, например, в книге [19].
89>
решение не может представляться степенным рядом по вершинам An (мы будем пользоваться обозначениями п. 7.3), поскольку уравнения движения определяют степенной ряд однозначно: это ряд обычной теории возмущений и никакой другой. Следовательно, всякое аномальное решение должно содержать „неаналитичность" по вершинам An, гі^З.
Нормальное решение представляется функциональным интегралом (193) и инвариантно относительно всех преобразований потенциалов, индуцируемых группой движений поля; аномальное решение может не обладать этим свойством вследствие спонтанного нарушения симметрии (см. формулы (197), (198) и следующее за ними обсуждение). Спонтанное нарушение симметрии всегда сопровождается вырождением решения (термин „вырождение" понимается как „неединственность"): если G(A)—некоторое решение уравнений движения и А—>Аг — некоторое преобразование потенциалов, индуцируемое элементом є группы движений поля, то „сдвинутый функционал" Ge(A)=ee e=G(A*) также является решением уравнений движения. Это эквивалентно утверждению об инвариантности уравнений движения по отношению ко всем таким сдвигам: „решение переходит в решение". Мы не будем сейчас останавливаться на доказательстве, поскольку все эти вопросы подробно обсуждаются в гл. VI,
Практическое построение аномальных решений представляется трудной задачей, если учесть, что единственным эффективным вычислительным методом в теории поля является теория возмущений, а нас интересует решение, не разлагающееся в ряд теории возмущений. Обычно в уравнениях движения делают какие-либо приближения, стремясь упростить эти уравнения до такой степени, чтобы их можно было решить точно. Поступая так, необходимо иметь уверенность, что сделанные приближения лишь упрощают задачу, но не искажают ее до неузнаваемости.
