Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
свойств случайной величины rxy,z мы всегда можем заменить
х и у величинами х' и у', некоррелированными с г, т. е. мы можем заранее предположить, что qxz = @уг = 0.
Б. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Tt,„
Возникает тот же вопрос, что и в предыдущем параграфе: сколь велик должен быть частный коэффициент корреляции rxy\z, чтобы можно было утверждать, что между х — Az и у — цz действительно существует зависимость? Или, иными словами.
§ 68. Частные коэффициенты корреляции
371
какие значения rxy;z следует считать чисто случайными, если х — Аг и у— jи,г, в действительности, независимы?
Согласно сделанному выше замечанию, мы можем при этом предположить, что А = ju, = 0, следовательно, дхг = дуг = 0. Мы пойдем еще дальше и предположим, что х,у, г — независимые, нормально распределенные случайные величины. Если их дисперсии равны единице, то совместная плотность вероятности будет задаваться формулой
Цх, у, г) = (2л)_* ё 2 <Х* + и'~г(]0)
При этих предположениях мы должны найти функцию распределения П(с) случайной величины rxg|Z. Эта функция определяется кратным интегралом
Н(с) = P(rXy|z < с) =
= III ' ' ' IIJК*1’ Ух> Zl} ' ¦ ' ^Хп’ Уп’ Zn) dXl dyi' ' ' dZn’ (11)
где область интегрирования задается неравенством Гхд\г < С.
Как и в § 66, с помощью ортогонального преобразования можно выделить распределение выборочных средних х, у иг. Для этого мы вместо х{, уи zk введем uit Vj и wk таким образом, чтобы щ, v-y и w-y были пропорциональны х, у и г соответственно. Коэффициенты ортогонального преобразования для Vj и wk выберем те же самые, что и для и{. Если положим, для краткости,
[uv] = u2v2 + ¦ • • + unvn, (12)
а [мю] и [»ш] определим аналогично, то выборочные коэффициенты корреляции будут задаваться формулами
[ц«] _ ___ ___ ¦ [те;] пт
Ху ^[uu][vv] ’ XZ \[uu\\imd] ’ y\w\[ww\
Преобразованный интеграл выглядит точно так же, как первоначальный интеграл (11), но только с заменой х, у, г на
и, v, w. Так как определение области интегрирования rxgi2 < с не зависит от ult vlt и\, то можно произвести интегрирование по этим переменным и получить
n3--JJJ JJJ - <[uu} +[ии] + [шш])
_ Зл-З
11(c) = (2 л) 3’’ ) ) ) . . . ) | ) е * ¦' ' ' ' du2 dv2. .. dwn, (14)
где область интегрирования задается неравенством Гху I z < С. 24*
372 Гл. X1IT. Корреляция
В формуле (14) мы сначала произведем интегрирование по щ, . . ип, v2, . . . , vn, а затем по и>2, . . wn. В качестве внутреннего интеграла получим
ГГ ГГ -tni4n
7 = 11... lie “ “ ащ . . , аип dv2. , .dvn.
(15)
Как и в § 67, введем теперь ортогональное преобразование переменных и и v, считая w постоянным:
< = 2 aikuk > v'i = 2" aikvk ¦ (16)
При этсм коэффициенты выбираются таким образом, чтобы, в частности, имели место равенства
[uw] , [yw]
«2=y=T. (17)
\\юю\ ylwir]
и, следовательно.
Па ________ w2 _ v* __________ V2
[гш] ’ V~ 1 [ьч>] ]'[«'«']
г _ __ [“"1 _ 1цу] _ ху У[мм'| [«»]" V [_«'«' 1 [«'о'!
Тогда (15) перейдет в интеграл
ГГ ГГ “ t"'0'] , ,
/ = I I . . . I I е “ du2 . . . dun dv2 . , . avn
(18)
где w — постоянная величина, и область интегрирования, как и прежде, задается неравенством rxg|Z < с. При этсм
ГU'tt'l - U2 «2
][ '2 1Г <2
\/ [V и’] — иг • ^ [«'«']—Уг
__ _ ___и3Уз + ... + unvn_______________
1Г / 2 ~,i ][ 71 /2
|/ «з + . . • + ип • у 1'3 + . . . + Уп
Так как определение области интегрирования не зависит от и'2 и v'2, то, интегрируя по этим переменным, получим
v!-..................
е. du'j. .. du„ dv '3... dv'„. (20)
Гxff С
Формула (20) показывает, что интеграл I не зависит от wu . . wn, следовательно, множитель 1 можно вынести за знак
§ 68. Частные коэффициенты корреляции 373
интеграла (14) и затем проинтегрировать по w2, . . ., wn. Таким образом, заменив и'.Л, ... на и3, . . ., получаем
-П+2 ( Г - о ("5 +¦ ' '' + (- 1»! + ¦ • ¦ + vi)
Н(с) = (2л) J . . .J е " <1из . . . dvn, (21)
где область гнтегрирования определяется неравенством г < с, а г, в силу (19), задается формулой
