Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Пример 47 (из книги: Fisher R. A., Statistical Methods for Research Workers, 11th ed., Ex.27). В восточной Англии в течение 20 лет (с 1885 по 1904 г.)
1 Строго говоря, этот критерий предназначен для проверки независимости случайных величин х и у, распределенных нормально. В остальных случаях этот критерий употребляется для проверки гипотезы g = 0. При таком истолковании мощность критерия оказывается вполне удовлетворительной. Если же этот критерий применяется для проверки независимости случайных величин с распределениями, отличными от нормального, то, как показывает пример в предыдущей сноске, мощность критерия может оказаться очень малой. Автор не затрагивает вопроса оценки мощности этого критерия, а рассматривает лишь вероятность ошибки первого рода. — Прим. перев.
§ 68. Частные коэффициенты корреляции
369
велись наблюдения за урожаем пшеницы и количеством осадков осенью. В результате оказалось, что урожай пшеницы и осенние осадки связаны отрицательной корреляцией, равной —0,63. По таблице находим, что 0,56 является 1%-ной границей для г. Следовательно, взаимосвязь между осадками и урожаем пшеницы можно считать доказанной.
§ 68. Частные коэффициенты корреляции
А. ПОНЯТИЕ ЧАСТНОЙ КОРРЕЛЯЦИИ»
В некоторых случаях корреляция между двумя величинами х и у целиком или частично вызывается тем, что существует значительная корреляция между хну,с одной стороны, и третьей случайной величиной z — с другой. Можно попытаться исключить зависимость от z, заменив хну такими величинами
х' — х — A z и у' = у — ц.г,
которые некоррелированы с z (слово«некоррелированы» означает, что коэффициент корреляции равен нулю). Возникает вопрос, какова будет при этом оставшаяся корреляция между хну?
Сначала мы займемся изучением этого вопроса для истинного коэффициента корреляции Qxy. Если х = у = z = 0, то
б:
'У
Множители А и /и, нужно выбрать так, чтобы имели место равенства
Отсюда находим
Q x'z = 6(а:2 —Az2) — 0, <S У’г = &(yz — fiz1) = 0.
. Ьхг охг<тх<тг <rx ,9
А = 7'Т =----------------------------------------------------1— = бзсг о-7 ’ ( }
О г2 о-г г
.. _&Уг _ QyzVyVz _ „ <гу ^
^ — 'g ---------Га — Куг
СГ-*
«Частный коэффициент корреляции» Qxy>z определяется формулой
_ &(х — Я.Е) {у—/хг) m
Qxy.t — Qxy' —- • W
Z&y—liZ
1 Автор пользуется здесь терминами «очищенные» коэффициенты корреляции и «очищение» (bereinigte Korrclations koeffizienten, Bereinigung), которые хорошо соответствуют логическому замыслу теории частной корреляции. — Прим. ред.
24 Б. Л. ван дер Варден - 1062
370
Гл. XIII. Корреляция
Числитель (4) можно записать так:
&ху — Л&гу — 1Л & xz + Ац g zz =
= Qxy vxo-y —Лдуго-уо-г - HQxzo-xo-z + А/ХО-? .
Если в этом равенстве А и /х заменить их значениями (2) и (3), то получим
S(X — А г) (у — ixz) = (Qxy — QxzQy г)о-хо-у. (5)
Точно так же вычисляются
°"?-Дг = &{х — Лг)2 = (1 — Qlz) °~х , (6)
^ =&(у-^)2 = ( 1 - &) ^ • (7)
Если все эти выражения подставить в (4), то найдем
___ вху— вхгвуг IQ\
===---. (8)
у 1 — ехг к 1 — е>г
Для того чтобы получить оценку для еЗД|*, заменим в формуле (8) истинные коэффициенты корреляции q выборочными т. В результате получим
т ____ _Тху---- TXZTуг /П\
у 11 “ i/Г ^ ‘ ’
\ 1 — rxz П — Туг
Формулу (9) Можно было бы вывести так же, как была выведена формула (8). Для этого нужно бы было определить, какие линейные комбинации х" = х — az и у" = у—Ъг имеют с z выборочный коэффициент корреляции, равный нулю. В этом случае выборочный коэффициент корреляции между х" и у" задавался бы формулой, в точности совпадающей с (9).
Отсюда следует, что rxlyz не изменится, если х заменить на х — Az, а у — на у — jxz, где А и /а — произвольные числа. Действительно, выборочные коэффициенты корреляции между z и линейными комбинациями х" = х — az и у" = у—Ъг равны нулю, а поэтому при замене х на х — Аг и у на у — /хг линейные комбинации х" и у" остаются неизменными. Таким образом, при изучении
