Методы теории групп в квантовой механике - Ван-дер Вандер Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
представлению Dj группы вращений и, кроме того, соответствующих определенному характеру отражения w. Введем в спиновом пространстве четыре базисных вектора и{, и2, и2 и разложим функцию
ф = ф[и{ ± ф82и82 ± Ф1и\ ± Ф1иа2 по шаровым функциям Y^n\o, ф). Это дает
Ф = ^/|па(г)Г,(п)«1 + = ?> + ?>. <24-2)
Отдельные многочлены Pi и Q\ преобразуются при вращении так же, как и ф, т. е. по Dj. Но они являются линейными комбинациями функций Y^u8x или Y^u2, преобразующихся по !?)/ х 2} 1/2 = 3D/_|_i/2 ± Ч-SD/—1/2- Следовательно, j должно быть равно /±1/2, т. е. j полуцелое число и вместо / рассматриваются только оба значения j ±1/2, из которых, естественно, одно четное и одно нечетное. Мы будем обозначать эти два значения через V и /", так что (—1)г — w и (—1)г = —w, чего, понятно, всегда можно достичь.
В (24.2) члены Pi относятся к характеру отражения (—1)*, тогда как члены Qi к характеру отражения (—1)г+1. Следовательно, если ф должно относиться к характеру отражения w = (—1)1 , то в (24.2) из двух возможных членов Pi входит только Ру и точно так же из обоих Qi только Qi//. Следовательно, ф = Ру ± Qi" или
Ф8=Рг =Y,fi'nx{r)Yl\n)u\, 1 Фа = Qi" =J2fi"n\(r)Yl(;!t)ul. )
По §18 линейные комбинации Y^u\, преобразующиеся по ^1+1/2 или 3D/_i/25 равны1
<m/2 = Vl + m + 1/2 r/m-1/2)Ul + '
+ y/l-m + l/2Yl{m+1/2)u2, I (24 я)
W$\/2 = - Vl-m + l/ZY^-^U! + j + л// + ш + 1/2Уг(т+1/2)и2. ,
1 Независимо от §18 легко убедиться в правильности этих соотношений, применив к обеим частям (24.3) операторы Мр, Mq, Mz §22.
132
Глава IV
Отсюда следует
Г =-Р,!”1 = №)<?,
r = Qfr'=gir)wfij-
Этим задача сводится к определению двух функций /(г) и g(r). Подставляя (22.4) в (22.1), получаем дифференциальные уравнения для этих функций
(24.5)
(Е + е<р- »c2)f(r)Wг(,™) = c(p<r)g{r)wfrj,
(Е + е<р + Мс2)Я(г) Wfij = c(pa)f(r)W^].
По правилу дифференцирования произведения получаем
(Р • a)f(r)Wt{f = mwwl? + firfjswlf, где принято
_ х | У_ | z
? — у» и X “г \
Так как выражения (рtr)w//^ и eWj,17^ при вращении опять преобразуются по 2)j, но как функции места относятся к противоположным ха-
рактерам отражения —w, то они могут быть только численными кратными от hr~1Wi,Tj или, соответственно, w/,™-; то же самое имеет место при перестановке V и Вычисление не представляет трудности (например, из развернутого выражения (24.3) и формул для шаровых функций) и (при соответствующем выборе множителей пропорциональности при Wij) дает
eW(m\ . = W{ml ,
Последние две формулы можно представить в более удобном виде, если
§ 24- Электрон в центральном поле по Дираку
133
ввести вместо квантовых чисел w, j новое целое число к, определяемое соотношениями
k = j + 1=1' + 1 для /' = j - i,
к = - (i + i) = -/' для /' = j + i.
При этом получаем
(Р<7)^ = (fc - = (1 -
(р,т)^ = _(* - = (1 + fc) АЖг,
а подставляя в (24.5),
(E + etp- pc2)f
= f(^+4
(Е + eip + ixc2)g = ^ + /').
Интересующихся определением пары функций f,g и собственных значений я отсылаю к учебной литературе. Вычисление дает в согласии с опытом тонкую структуру водорода, термы Не+, а также дублетное расщепление термов наиболее легких щелочных металлов. Благодаря тому, что = Р//, /' является обычным азимутальным квантовым числом /, значение которого к — 1 для к > 0 и —к для к ^ 0. В случае чисто кулоновского поля (И, Не+) для каждого главного квантового числа п термы с равным j = |fc| — У2 и различными I = j =Ь xj2, совпадают (см. рис. 3).
Рассмотренную в этом параграфе задачу можно решать по методу возмущений, исходя из дифференциального уравнения (23.10) и рассматривая в нем члены с (Е' + е(р)2 и ((?•©) как возмущающие члены. Этот способ особенно полезен в случае некулоновского поля. Член (Ef + е(р)2 дает только смещение термов, не зависящее от ориентации спина, второй член
3d 3 p,d-3s, р7
2 s,p-
2 р-
•_ 5
3 2
^Li2
j 2
-1=2
1
~ J 2
Рис. 3. Тонкая структура линии а.
• &)фа = • (т)(Е' + еср + 2цс2) 1с(р • cr)ips
134
Глава IV
является причиной дублетного расщепления. Если пренебречь Е1 + eip по сравнению с 2/хс2, то получаем
