Методы теории групп в квантовой механике - Ван-дер Вандер Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
С\[1 = °к\»хк-
Таким же образом с каждым мировым вектором или мировым тензором с помощью величины а можно связать спинор. Например,
/ЖАД* = (rk^alxi,Fkl. (20.14)
Другой простой величиной является чистый спинор ех^ с компонентами
512 = 1, ?21 = -1, 511 = ?22 = 0.
Точно так же можно определить sx^ и С помощью этих величин строят инварианты, как, например,
e^axbft = ai&2 - a2bi
§ 20. Представления группы Лоренца
115
и пишут (20.3) в инвариантном виде
ъх = ?a*v
На доказательстве1 того, что символов е и а достаточно, чтобы записать инвариантно любую инвариантную систему уравнений, связывающую спиноры и мировые тензоры, мы останавливаться не будем и ограничимся следующим примером. Скалярное произведение хкук двух мировых векторов может быть представлено с помощью г-символики в виде
ХкУк =
где ?ад = Ck\(iхк и 77Ад = акх^Ук соответствующие спиноры2.
вкратце это доказательство сводится к следующему. Сначала мировые векторы и тензоры заменяются эквивалентными им спинорами [как в (20.14)]. После этой замены символы а уже не нужны. Каждая инвариантная система уравнений может быть получена путем приравнивания нулю ковариантов (теорема Грама). Все коварианты бинарных тензоров строятся путем символического разложения тензора на «линейные множители» а^х^ соответственно а^у^ и «скобочные символы» (аЪ) = ai&2 — «2^1 = ?Х^а\Ъц или, соответственно, (аЪ)ех^ауЪ^. В этом и заключается доказательство. Применяемые законы теории инвариантов см.: R. Weitzenbock. Invariantentheorie, Groningen, 1923.
2Подробное изложение спинорного анализа с многочисленными примерами и, между прочим, с применением к уравнениям поля Максвелла, дано в Laporte und Uhlenbeck. Phys Rev., Bd. 37, S. 1380 (1931).
Глава IV «Вращающийся электрон»
§21. Спин
Мы видели в § 6, что употреблявшееся до сих пор волновое уравнение Шредингера с магнитным возмущающим членом в операторе энергии
в состоянии объяснить только нормальный эффект Зеемана, когда он имеет место для синглетных термов, но не аномальный эффект. Для объяснения аномального эффекта Зеемана оказалось необходимым, наряду с магнитным моментом движения по орбите, всегда пропорциональным механическому моменту, ввести в атом еще один магнитный момент. По гипотезе Уленбека и Гаудсмита1, этот момент происходит от наличия у электрона так называемого спина, т. е. собственного момента импульса «вращающегося электрона».
Непосредственное механическое действие электронного спина наблюдается при намагничивании ферромагнитных веществ. При этом эксперимент показывает, что изменение механического момента вращения так относится к изменению магнитного момента, как 1 : ^ или
как h : 2к вместо h : к, как должно было быть, если бы намагничивание зависело от движения электронов по орбитам. Эту аномалию объясняют тем, что спин является единственной причиной ферромагнетизма, причем магнитный момент «вращающегося электрона» в два раза больше, чем магнитный момент движения по орбите с равным механическим моментом импульса.
Опыт Штерна и Герлаха, при котором пучок атомов серебра в основном состоянии (/ = 0) проходит в направлении х через магнитное поле, величина которого сильно меняется в направлении z, показывает, что спин квантован (так же, как и магнитный момент импульса ?), т. е. что его компоненты в определенном направлении могут принимать
1Uhlenbeck und Goudsmit. Naturwissenschaften. Bd. 13 (1925) S. 953. Nature Bd. 117 (1926) S. 264.
§ 21. Спин
117
только дискретные значения на магнитик, момент которого в направле-
d$)z „
нии z равен fj,z; в этом поле действует сила /хг. Пучок расщепляется
OZ
на две части, соответствующие значениям /iz = ±>г. Если сделать правдоподобное предположение, что только один электрон ответственен за магнитный момент, тогда как спины других электронов взаимно уничтожаются1, то мы придем к выводу, что магнитный момент электрона может принимать в любом направлении только значения ±>г, а механический момент импульса (спин) — только значения
Это квантование спина дает возможность объяснить мультиплет-ное расщепление спектральных термов. В простейшем случае щелочного металла, где только один электрон играет заметную роль, это явление сводится к следующему: в первом приближении уровни совпадают с вычисленными в § 4 значениями энергии для электрона в центральном поле, но, за исключением уровня s, для которого I = 0, все они состоят из тонкого дублета. При введении возмущающего поля, не обладающего центральной симметрией, один из членов дублета расщепляется на 21 + 2, а второй на 21 компонент, тогда как в бесспиновой теории должно иметь место расщепление на 21 + 1 компонент. Можно соединить оба уровня вместе с помощью квантового числа j, принимающего для (21 + 2)-кратно вырожденного уровня значение I + У2 и для второго уровня значение I — 1/2. Для уяснения положения вещей представим себе, что орбитальный момент импульса Ы и спиновый момент импульса ^h соединяются в равнодействующий hj с j = I =Ь 1/2. Этот общий
