Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.
Скачать (прямая ссылка):
С другой стороны, высказанное условие и достаточно. Предположим, что система предоставлена, без начальных скоростей, действию прямо приложенных сил. Тогда можно утверждать, что если условие имеет место, система будет в равновесии, т. е. что равнодействующая всех сил, действующих на какую-нибудь точку системы, будет равна нулю для каждой точки.
Предположим противное, т. е. что равновесия не будет. Так как начальные скорости равны нулю, то точки, не находящиеся в равновесии, переместятся по направлению равнодействующей сил для каждой точки, и это действительное перемещение будет совместимо со связями, так как оно выполняется на самом деле. ДадиМ системе виртуальное перемещение, совпадающее с этим действительным перемещением; сумма элементарных работ всех сил на нем будет положительна, так как каждая точка перемещается в сторону равнодействующей, приводящей точку в движение. Но работа сил связи равна нулю на основании леммы, так как рассматриваемое перемещение совместимо со связями; поэтому работа прямо приложенных сил положительна, что противоречит условию.
288
Чисть третья. Статика
234. Применение принципа виртуальных перемещений к случаю точки, которая может двигаться без трения по неподвижной кривой или поверхности.— Если точка М может двигаться без трения но неподвижной кривой или поверхности, то сила связи представляет собой нормальную реакцию этой кривой или поверхности. Поэтому выполнение основной леммы здесь очевидно. Реакция в этом случае не производит работы на перемещении, совместимом со связью, ибо последнее, будучи расположено на линии или поверхности, перпендикулярно к реакции связи.
Принцип возможных перемещений может быть поэтому применен в данном случае, и мы сейчас убедимся, что он приводит к условию равновесия.
Если точка М может двигаться по кривой, то работа силы F, приложенной к точке, на перемещении точки по кривой может обратиться в нуль лишь в том случае, когда эта сила равна нулю или нормальна к кривой, в этом именно и заключается необходимое и достаточное условие равновесия точки на кривой.
Если точка может двигаться по поверхности, то работа силы F может быть равна нулю при любом направлении перемещения точки на поверхности лишь в том случае, когда сила равна нулю или нормальна ко всем этим перемещениям, т. е. когда сила направлена по нормали к поверхности; в этом именно и заключается необходимое и достаточное условие равновесия точки на поверхности.
§ 2. ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИПА ВИРТУАЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ К РАВНОВЕСИЮ СВОБОДНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
235. Одно свойство эквивалентных систем сил: эквивалентность систем сил с точки зрения работы, произведенной над твердым телом. — Силы связи в свободном твердом теле представляют собой равные и прямо противоположные действия и противодействия, которые попарно оказывают друг на друга точки тела;
Глава X. Аналитическая статика
289
эти силы взаимодействия удерживают точки тела на неизменных расстояниях между собой. Лемма, которая служит основанием для принципа виртуальных перемещений, оправдывается для этих сил связи, в силу следующей общей теоремы:
Теорема.—Если две системы сил, приложенных в определенных точках твердого тела, эквивалентны друг другу, то сумма элементарных работ сил одна и та же для обеих систем, каково бы ни было элементарное перемещение тела.
Для доказательства теоремы достаточно показать, что сумма работ сил, входя,них в данную систему, не изменяется, когда над этой системой выполняют одну из элементарных операций.
Эта инвариантность уже установлена для сложения и разложения сил, приложенных к одной и той же точке твердого тела. Остается только проверить ее для одной из двух последних элементарных операций (так как они приводятся одна к другой), например, для переноса силы F в какую-нибудь точку М линии ее действии.
Эта проверка непосредственно очевидна. В сямом дете, элементарная работа силы F, приложенной в точке М, равна произведению F6t на проекцию скорости точки М на направление сил j F. Но эта проекция одна и та же для всех точек М линии действия силы F: она равна скорости скольжения этой прямой (п°61^.
Из этой теоремы вытекает высказанное в начале этого п° следствие, относящееся к работе сил связи;
Следствие: — При всяком виртуальном перемещении твердого тела сумма виртуальных работ сил связи равна нулю.
В самом деле, силы связи, будучи равными и прямо противоположными друг другу, образуют систему, эквивалентную нулю, и пэтому сумма их элементарных работ обращается в нуль. Таким образом, каково бы ни было перемещение твердого тела, достаточно учитывать лишь работу прямо приложенных сил.
19 Заж, 958.
290
Часть третья. Статика
236. Элементарная работа пары сил, действующей на твердое тело. — Пусть на твердое тело действует мара с осевым моментом G. Дадим этому телу элементарное перемещение, происходящее в течение бесконечно малого промежутка времени 81.
Движение твердого тела приводится к мгновенному поступательному движению со скоростью и и к мгновенному вращению с угловой скоростью и». Вращение и> не зависит от выбранного центра приведения, и toSt есть элементарный угол, на который тело поворачивается за бесконечно малый промежуток времени Ы. Будем называть вектор u)81 элементарным вращением твердого тела. Мы имеем тогда следующую теорему:
