Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.
Скачать (прямая ссылка):
следовательно,
Пусть х0 и Ху — абсциссы двух параллельных плоскостей, проведенных через концы А и В образующей дуги пояса;
280
Часть третья. Статика
формулы предыдущего п° принимают вид:
5S = 2m J xdx — ка (хх2 — л:02),
а-,
5 = 2ita j" dx ~ 2т (л^ — л'0);
отсюда, разделив эти равенства почленно, получим:
Итак, центр тяжести сферического попса лежит в середине отрезка, соединяющего центры двух оснований.
228. Теоремы Гюльдена.— Пусть АВ есть дуга плоской кривой, отнесенной к двум прямоугольным осям Ох и Оу. Ордината центра тяжести дуги определяется формулой
где интеграл распространен по дуге АВ.
С другой стороны, площадь поверхности вращения S, образованной той же дугой при ее вращении вокруг Ох, равна
Отсюда имеем первую теорему Гюльдена:
Площадь поверхности, образованной вращением дуги плоской кривой вокруг прямой, лежащей в ее плоскости, равна произведению длины дуги на длину окружности, описанной ее центром тяжести,
t _ *1 + X-S 2
в
3
Исключая интеграл, получаем
S — $2щ.
Глава IX. Центр тяжести
281
Рассмотрим далее плоскую фигуру с площадью S, отнесенную к двум прямоугольным осям Ох и Оу; ордината т| ее центра тяжести определяется формулой
Sy ¦= [ у dS,
s
где интеграл распространен на все элементы dS площади 5.
Предположим, что площадь 5 заставляют вращаться вокруг оси Ох. Допустим при этом, что площадь 5 целиком расположена по одну сторону от этой оси. Элемент площади dS с ординатой у опишет кольцевой бесконечно тонкой объем, измеряемый произведением площади его сечения dS на его длину 2тту.
Объем V тела, образованного вращением всей площади S, выразится интегралом от всех элементарных объемов:
V = {ydS. s
Исключая из двух предыдущих равенств интеграл, получим: V— S • 2ят].
Отсюда имеем вторую теорему Гюльдена:
Объем, образованный вращением плоской фигуры вокруг оси, лежащей в плоскости фигуры вне ее, равен произведению площади фигуры S на длину окружности, описанной ее центром тяжести.
229. Поверхность и объем тора. — Теоремы Гюльдена позволяют непосредственно определить поверхность и объем тора.
Тор есть кольцевая фигура, образованная вращением круга радиуса а вокруг прямой, расположенной в плоскости круга на расстоянии с > а от его центра. Геометрический центр круга есть в то же время его центр тяжести; при вращении вокруг оси он опишет окружность
282
Часть третья. Статика
длиной 2itc. Длина окружности и площадь образующего круга равны соответственно 2т.а и
Площадь поверхности тора равна поэтому, на основании первой теоремы Гюльдена:
S = 2т-а • 2тгс = 4и2яс;
объем тора, в силу второй теоремы Гюльдена, равен:
К =71:а2- 2~с = 2-2<i2l.
ГЛАВАХ
АНАЛИТИЧЕСКАЯ СТАТИКА
§ 1. ПРИНЦИП ВИРТУАЛЬНЫХ РАБОТ ДЛЯ СИСТЕМ С ОБРАТИМЫМИ ПЕРЕМЕЩЕНИЯМИ
230. Содержание принципа. — Принцип виртуальных работ, «ли виртуальных перемещений в первый раз в его общей форме был высказан Лагранжем; он дал общее правило для определения условий равновесия материальных систем без трения и привел его к общему уравнению, выражающему эти условия. Это уравнение носит название общего уравнения статики. Мы будем называть аналитической статикой ту часть статики, которая основана на применении принципа виртуальных работ.
231. Определения. Виртуальное перемещение и виртуальная работа. — Пусть М есть материальная точка, к которой приложена в числе других сила F. .Предположим, что этой точке сообщают произвольное бесконечно малое
совместимое со связями перемещение ММ': это перемещение называют виртуальным перемещением точки, в отличие от действительного перемещения, которое точка получает'на самом деле под действием приложенных к ней сил. Элементарную работу силы F на перемещении
ММ' называют виртуальной работой F на этом перемещении. Виртуальная работа равняется, таким образом,
скалярному произведению двух векторов F и ММ'. Мы будем записывать это произведение в виде
(FMM'),
так что будем иметь
(FMM') == F • ММ' cos (F, ММ'),
284
Часть третья. Статика
К понятию виртуальной работы можно применить все то, что было сказано о работе в динамике точки.
Перемещение ММ' обозначают также через 8s, чтобы отличить его от действительного бесконечно малого перемещения ds точки М. Подобно тому как проекции вектора ds на оси суть dx, dy, dz, проекции вектора 8s обозначаются через Ъх, by, Ьг.
Бесконечно малые величины, отмеченные знаком d, представляют собою дифференциалы, и в дальнейшем мы сохраним за ними это название; величины же, отмеченные знаком 8, мы будем называть вариациями, чтобы отличить их от дифференциалов.
