Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Предполагая, как и раньше, что движение идеальной жидкости установившееся п потенциальное, пе будем требовать, чтобы иху v,j, vz всюду вне крыла были непрерывны. Поскольку мы хотим сохранить постулат, т. е. чтобы жидкость, обтекая крыло конечного размаха, покидала его в задней острой кромке, и так как ниоткуда пе следует, что скорости частиц жидкости, сходящие с верхней и ппжней сторон крыла, одинаковы, то естественно допустить, что в жидкости имеется поверхность
2, проходящая через заднюю острую кромку, на которой нет непрерывности скоростей. Так как движение установившееся, то эта поверхность 2 должна быть неподвижна в пространстве. В точках этой поверхности с верхней и нижней сторон должны быть выполнены условия непрерывности давления и нормальной составляющей скорости, т. е.
пв | _ пн |
Р is Р Ь дп
дп
(1.4)
При отсутствии массовых сил из интеграла Бернулли
и2 I р ,
— р — const следует, что квадрат скорости, а следовательно, н величина скорости непрерывны при переходе через 2. Но v2 = v2n + где vn = — нормальная, vx — касательная со-
ставляющие скорости. Так как функция v2n непрерывна при переходе через 2, то непрерывна и v\, а тогда и абсолютная величина Vx- Но сама касательная составляющая vx может терпеть разрыв, при этом при стационарном движении разрыв испытывает только vz — поперечная составляющая vx.
Поверхность, на которой терпит разрыв касательная составляющая скорости, может быть интерпретирована как вихревой слой. Заметим, что поверхность 2, вообще говоря, неизвестна и должна быть найдена в процессе решения задачи.
Таким образом, задача сводится к отысканию функции Ф (x,y,z), удовлетворяющей уравнению Лапласа (1.1), граничным условиям (1.2) на поверхности крыла S, условиям (1.4) на неизвестной поверхности разрыва 2 (эти условия нелинейные,
так как давление выражается через и2==(т^) ('ST')
+ Ш) п условиям на бесконечности. Условия на бесконечности теперь следует формулировать несколько иначе, а именно. vx — у ос, vy = О, vz = 0 бесконечно далеко от S и 2.
Основные предположения, которые лежат в основе теории, излагаемой в этой главе, следующие:
1) рассматриваемое крыло тонкое,
234
2) крыло имеет большое удлинение,
3) применима гипотеза плоских сечений,
4) справедлива схема жидкого крыла.
Выберем оси координат так, чтобы ось х была параллельна скорости Voo невозмущенного потока, ось z направлена по размаху крыла. Начало координат поместим в середине размаха крыла.
1) Первое предположение означает, что профиль, полученный в сечении крыла плоскостью 2 = const, тонкий и хорда профиля образует малый угол с направлением скорости (угол атаки а мал).
2) Для крыла произвольной формы в плане за удлинение
L2
принимают отношение К = -j-, где L — размах крыла, S — его
площадь в плане. Для прямоугольного крыла S = bL, где b —
L2 L
хорда профиля и удлинение К = —<г =-^-------отношение размаха
к хорде. По второму предположению К велико (практически до« статочно брать А, >4), т. е. крыло длинное и узкое.
3) Гипотеза плоских сечений, оправданием которой служит второе предположение, позволяет в плоскости 2 = const скорости и давления
vx = vx (х, у), vy = vy (х, у), р = р (х, у)
построить так же, как в случае крыла бесконечного размаха.
4) Гипотеза о справедливости схемы жидкого крыла предполагает возможность подобрать такую систему особенностей, которая может заменить действие твердого непроницаемого крыла На поток и вызвать такое же движение жидкости, которое вызывалось действием крыла.
§ 2. ВИХРЕВАЯ СИСТЕМА КРЫЛА И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Составим представление об общей схеме рассмотрения задачи с учетом сделанных предположений. Жидкость, заполняющая безграничное пространство, обтекает крыло конечного размаха (рис. 49). С задней острой кромки крыла сбегает поверхность 2 разрыва касательных составляющих скорости, которую можно трактовать как вихревую поверхность, образованную вихревыми трубками. Выделим на этой поверхности бесконечно тонкую вихревую трубку. При сделанных предположениях (движение установившееся, жидкость несжимаемая, массовые силы отсутствуют) справедлива теорема Гельмгольца, согласно которой вихревые трубки при движении все время остаются вихревыми трубками, перемещаясь вместе с жидкостью. Но поскольку движение установившееся, это возможно, только если вихревые линии будут совпадать с линиями тока.
235
Так как крыло тонкое, то можно скорости представить в виде vx = voo-\- v'x, vy = v'y, vz = v'z, где v'x, t>', u' — скорости возмущений, возникающие из-за наличия крыла. Так как последние невелики по сравнению со скоростью Уоо, то линии тока будут мало отклоняться от линий тока невозмущенного движения. Поверхность тока, сбегающая с задней острой кромки крыла, и совпадающая с ней вихревая поверхность будут мало отклоняться от плоскости (x,z). Поэтому приближенно можно принять, что вихревая поверхность совпадает с частью плоскости (х, z), а вихревые линии, образующие эту поверхность, будут прямыми, параллельными оси х.
