Квантовые компьютеры: надежды и реальность - Валиев К.А.
Скачать (прямая ссылка):
С помощью использования однокубитовой телепортационной схемы возможно также осуществлять различные квантовые операции с участием удаленных друг от друга элементов. Формирование таких квантовых операций связано с созданием помехоустойчивых вентилей, выполняющих запрещающие (prohibit) квантовые операции внутри одного и того же кодируемого блока-кластера и квантовых вентилей, выполняющих запрещающие операции между удаленными (remote) частями системы.
Весьма интригующей представляется возможность создания такой архитектуры квантового компьютера, в которой некоторый ансамбль
104
Глава 2
вспомогательных запутанных базисных составляющих, используемых для универсальных квантовых вычислений и дополняющих обычные квантовые состояния, может рассматриваться как расходуемый коммерческий ресурс.
Схема квантового компьютера на оптических кубитах в квантовых электродинамических полостях (cavity quantum electrodynamics), в котором квантовое состояние надежно передается на макроскопические расстояния, как своего рода квантовый Интернет, рассматривалась в статье [2.49]. В ней, в частности, утверждается, что необходимое для телепортации запутывание квантовых состояний, может охватывать расстояния до сотен километров. При этом для этого не потребуются высококачественные квантовые нити. Связь между оптическими различными электродинамическими полостями может осуществляться по оптическим волоконным каналам.
Затронутые здесь вопросы находятся в самой начальной фазе своего развития и поэтому, к сожалению, не могут быть изложены здесь в достаточно полной мере.
Приложение П.2. Квантовое вейвлет-преобразование
П.2.1. Некоторые общие сведения
Недостатком фурье-преобразования является одинаковая величина модуля амплитуд базисных функций фурье-преобразования exp(27rz#fc/iV) при всех значениях х и широкий набор значений их фаз. В результате фурье-преобразование состояния, локализованного в конечной области на ж-шкале, содержит набор фурье-амплитуд для всех значений к, то есть является нелокализованным на шкале к.
В качестве одного из альтернативных подходов для представления функций, локализованных в ограниченной области одновременно как на ж-, так и на fc-шкале, то есть на двухмерном массиве параметров N х 7V, может быть рассмотрено так называемое вейвлет-преобразование1 (wavelet transform) [2.50-2.52], которое в последнее время получило весьма широкое практическое применение в самых разных областях науки и техники [2.53].
1 Дословный русский перевод термина wavelet — малая волна, волночка. Авторы статьи [2.52] предлагают для него термин «всплеск».
Приложение П.2. Квантовое вейвлет-преобразование 105
Для квадратично интегрируемой функции f(x) непрерывной переменной, заданной на интервале [0,7V] , то есть в линейном пространстве L2([0,7V]), амплитуды вейвлет-преобразования имеют вид:
N
w„(m) = J ^n(x,m)f(x)dx, (П.1)
О
где фп(х,т) — базисные функции — вейвлеты, заменяющие функции ехр(27ггж&/ТУ) в фурье-преобразовании и отображающие f(x) в отличие от фурье-преобразования не на одномерный непрерывный массив параметров к, а на двумерный массив целых параметров п, т.
Функции фп(х,т), отличающиеся значениями параметров п и ш, вообще говоря, не являются независимыми, и их совокупность образует переполненную систему. Поэтому вейвлет-представление сигнала содержит определенный произвол при выборе формы «материнской» функции 'ф(х) = фп(х,т), которым и пользуются для устранения переполнения.
Вейвлет-преобразование становится обратимым при определенных ограничениях на вид материнской функции ф(х) = ^o(x,0). К таким ограничениям относятся условия [2.54]:
N N
J \ф(х)\2 dx = 1, J хаф(х)с1х = 0у а = 0,1,... М. (П.2)
о о
Ортонормированный набор базисных функций для вейвлет-преобра-зования строится из одной материнской нормированной функции ф(х).
Совокупность полученных при этом квадратично суммируемых «дочерних» базисных функций — вейвлетов представляется в следующем виде [2.54]:
фп(х,т) = 2n/2ip(2nx — ш). (П.З)
При выполнении условий (П.2) они образуют полную ортонормирован-ную систему, то есть
N
J* Фпт)'Фп' ™ ) dx = SnntSmrnt, (П.4)
о
106
Глава 2
и поэтому могут быть базисом для унитарного преобразования состояний.
Из выражения (П.З) следует, что роль пространственных частот к теперь играют параметры 2П. С увеличением параметра п уменьшается масштаб или увеличивается разрешение функции фп(х,т) на шкале х по сравнению с разрешением дочерней функции ф(х) в 2П раза и происходит на 2~пт ее сдвиг. С каждым шагом итерации п => п + 1 в два раза, то есть на октаву, изменяется частота отсчетов (рис. П.2.1).
В результате двумерная область параметров разбивается на отдельные прямоугольные области, определяемые диадными (dyadic) интервалами (2_пш, 2_п(ш + 1)), координаты этих областей определяются параметрами ш, п (рис. П.2.1).
