Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
труда, причем удобнее перейти к уравнениям в характеристической форме.
Характеристические уравнения для (8.10) записываются так:
С+: {^ + (ui + a')^} XP + Piaiu)+Pia^i^r = 0' (8Л1)
С_: |A + (Ul_aj) J_J (р -p1a1u) + piatUii^ = 0, (8.12)
Р: {4r+uiiL}(р~(8ЛЗ)
решив каждое из них по отдельности, получим
(Р-Pi) + Piai (и-щ)= - •Л+ Flx~0" (8Л4)
{Р-Pt)- PiOi (и - щ)= - •Л {х]~ A°+G{x - (ui-ai) t}, (8.15)
Uf- (Ц AiQ
{p - Pi) - al(P - Pi) = H(x-u1t), (8.16)
где F, G и H - произвольные функции. Благодаря постоянству коэффициентов
в линеаризованной форме мы смогли провести интегрирования для трех
семейств характеристик в явном виде, причем характеристики были
аппроксимированы прямыми я - (щ ± cii)t = const, х - Uxt = const. Три
произвольные функции определяются начальными условиями задачи и
граничными условиями на ударной волне.
Первое и решающее условие состоит в том, что F должна быть тождественно
равна нулю. Это следует из того, что все характеристики С+ за ударной
волной, т. е. прямые х - (щ + щ)< С 0, начинаются в однородной области,
где и = щ, р = ри р = рд, А = А0 (см. рис. 8.1); отсюда, согласно (8.14),
F = 0. Именно на этом шаге исключаются возмущения, приходящие из области
аа
Гл. 8. Динамика ударных волн
260
ударной волной. Следует подчеркнуть, что в рамках принятого метода
утверждение F ~ 0 строго выводится из формулировки начальных условий и не
нуждается в интуитивном обосновании.
Две другие функции G и Н отличны от нуля; они описывают возмущения на
характеристиках С_ и траекториях частиц Р, изображенных на рис. 8.1. Эти
кривые начинаются на возмущенной ударной волне, и трех условий на разрыве
достаточно для определения G, Н и изменения числа Маха (по которому можно
найти и изменение положения ударной волны). Функции G и Н представляют
второстепенный интерес. Основной нужный нам результат - изменение числа
Маха, и его можно найти, не затрагивая G и Н. Условия на разрыве выражают
возмущения р - ри и - щ на ударной волне через изменение числа Маха М -
М0. В силу (8.7) и (8.8), имеем
(8.17)
= ао(^+-щ) (м~мо)-
Подставив эти выражения в формулу (8.14) с F = 0, получим
\у+1 Y+1 ( М% / р0а0/ и/ РоОо"1 + "1 Ао
(8.18)
Выражения для щ_, р15 аг через М0 находим из условий (8.7)-(8.9)
с М = MQ. Тогда после некоторых алгебраических преобразова-
ний равенство (8.18) записывается в виде
-g(M0) (М-М0), (8.19)
где
*да-тв?г(*+ит^)('+21*+тгг). <8-20>
• (8-21)
Величина р фактически является числом Маха ударной волны относительно
течения за ней.
При необходимости выражения для G и Н можно найти, рассмотрев соотношения
(8.15) и (8.16) на ударной волне; в теории малых возмущений корректно при
этом принять, что условия
(8.7)-(8.9) удовлетворяются на фронте невозмущенной ударной волны х =
a0M0t, поскольку ошибки будут малыми второго порядка. Детали можно найти
в статье Честера [1], где впервые были получены эти результаты.
8.1. Ударная волна в неоднородной трубе
261
Интересно, что в равенстве (8.15) член, содержащий А (х), меняет знак при
щ = и приводит к особенности при щ = ах. Тем не менее в равенстве (8.19)
не обнаруживается ни изменения знака, ни какой-либо особенности. Фридман
[1] исследовал случай их = = а1, который соответствует в точности
звуковому течению за ударной волной. Он показал, что для того, чтобы
получить регулярное решение, в возмущения на характеристике С_ следует
включить малые нелинейные эффекты, но при этом равенство (8.19) не
изменится.
Прежде чемДзодробно обсуждать соотношение (8.19), перейдем к важному
обобщению.
Конечные изменения площади; правило характеристик
Пусть площадь А (х) сечения трубы меняется медленно, но труба настолько
длинна, что при этом накапливаются большие изменения этой площади; тогда
трубу можно рассматривать как последовательность коротких отрезков, на
каждом из которых изменение А мало. На каждом таком отрезке трубы можно
провести линеаризацию около локальных условий и применить теорию малых
возмущений, как в (8.14)-(8.16). Но, строго говоря, уже нельзя полагать F
= 0, поскольку условия на входе каждого из этих отрезков уже не будут
отвечать однородному состоянию.
После ряда последовательных шагов соответствующие ошибки могут
накапливаться. Однако если этим пренебречь, то равенство
(8.19) будет применимо к каждому отрезку с А0 и М0, равными площади и
числу Маха на входе в рассматриваемый отрезок трубы. Но тогда теория
чрезвычайно проста. Фактически мы утверждаем, что (8.19) представляет
собой дифференциальную форму функционального соотношения М = М (Л):
-г-ж *<">¦ <8-22>
и вообще нет необходимости проводить разбиение на малые отрезки! Далее,
само соотношение (8.19) всего лишь результат подстановки условий на
разрыве в характеристическое соотношение на характеристиках С+. Таким
образом, весь вывод можно сформулировать в виде следующего правила
характеристик:
Выписать точное нелинейное дифференциальное соотношение для характеристик
С+. Вместо р, р, и, а подставить их выражения через М из условий на
