Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
возможности для изучения в дальнейшем и этих задач. Распространение
плоской волны в неоднородной среде происходит аналогично, и некоторые его
детали также включены в рассмотрение.
8.1. Распространение ударной волны но неоднородной трубе
Рассмотрим одномерное (гидравлическое) описание течения по трубе с
заданной площадью поперечного сечения А (х). Даже в однородной трубе
ударная волна может изменяться сложным образом вследствие взаимодействия
с течением позади нее, как описано в задаче о поршне в § 6.8 и 6.11. Но
мы заинтересованы в возможно более полном выделении эффектов, связанных с
непостоянством величины А (х), и фактически хотим рассмотреть самый
простой вариант задачи о поршне. Точнее, мы хотим сформулировать задачу
таким образом, чтобы в случае А (х) = const ударная волна имела
постоянную скорость. Для этого предположим, что
А{х) = Л(1 - const при х < 0
и что ударная волна первоначально движется по этой части трубы с
постоянным числом Маха М0. Можно считать, что ударная волна образована
поршнем, движущимся с подходящей постоянной скоростью далеко сзади в
однородной части трубы. Поршень все еще создает напор, поддерживающий
движение ударной волны, но это не приводит ни к каким изменениям',
изменения полностью связаны с изменением площади поперечного сечения.
Задача тогда состоит в том, чтобы найти зависимость числа Маха ударной
волны от А (х) при х > 0.
Течение, строго говоря, не одномерно, но если площадь поперечного сечения
меняется не слишком быстро, то уравнения,
8.1. Ударная волна в неоднородной трубе
257
получаемые усреднением по сечению трубы, будут давать хорошее
приближение. Эти уравнения таковы:
¦Af (дг)
Pi+wp.x + pw* + PM-j^ = 0, (8.1)
ut-\-uux + - px=0, (8.2)
Pt + ирх - а2 (рt + ирх) = 0. (8.3)
Изменение площади фигурирует только в уравнении неразрывности (8.1), а
это уравнение немедленно следует из закона сохранения массы в виде
(рИ)( + (р иА)х = 0. (8.4)
Заметим, что для распространения волны внутрь клина с вершиной в точке х0
А{х) ОЭ (*"-*), 4^=^' (8-5)
а внутрь конуса
А(х)^(х0-х)2, = (8.6)
Если положить г = (х0 - х) и придать противоположный знак скорости и
(чтобы она была направлена в сторону возрастания г),
Рис. 8.1. (х, 4)-диаграмма Для ударной волны, входящей в неоднородную
область. 1 - ударная волна.
то эти уравнения совпадут с уравнениями (6.132) - (6.134) для
цилиндрических и сферических волн и в этом случае они будут точными.
Последнее указывает, что истинный критерий справедливости одномерной
формулировки фактически состоит в том,
Гл. 8. Динамика ударных волн
258
что кривизна стенок в ^-направлении должна быть^малой. Но вопрос о
случаях, когда эта теория точна, по-видимому, не был изучен до конца.
На рис. 8.1 приведена (х, ^-диаграмма рассматриваемой задачи, причем за
начало отсчета времени t взят момент, когда исходная ударная волна
приходит в точку х = 0. При t <; 0 течение состоит из однородных
областей, разделенных движущейся ударной волной. Положим и - 0, р = р0, р
= Ро Для невозмущенного состояния перед ударной волной и и - ии р = рх, р
= pi для исходного однородного состояния за ней. Величины щ, р1т р,
выражаются через р0, р0, М0 при помощи условий на разрыве.
Когда ударная волна достигает точки х = 0, возмущения этого состояния
распространяются по траекториям частиц Р и отрицательным характеристикам
С_. Кривые С_ могут иметь положительные или отрицательные наклоны в
зависимости от того, какое из неравенств (щ > ах или иг <С аг)
выполняется; последний случай изображен на рис. 8.1. Задача состоит в
том, чтобы из уравнений (8.1)-(8.3) определить эти возмущения, а также
изменения положения ударной волны и ее интенсивности. Условия на разрыве
имеют вид
кроме того, в случае необходимости можно использовать формулу для
скорости звука: а2 = ур/р.
В одномерной формулировке не требуется малости изменений самой функции А
(х), поскольку для достаточно больших расстояний могут иметщместо большие
изменения даже в том случае, когда производные от А (х) будут оставаться
малыми. Однако, в случае когда отклонение А (х) от Л0 остается малым,
можно предположить, что возмущения состояния щ, рг, рх за ударной волной
и изменение числа Маха ударной волны соответственно малы. Тогда можно
искать решение задачи, используя его близость к решению для однородной
трубы. Уравнения (8.1) -
(8.3) и условия на разрыве (8.7)-(8.9) линеаризуются около состояния щ,
рх, pj. Однако следует отметить, что величины
(8.8)
(8.9)
(8.7)
Случай малых возмущений
Л (х) - Л0
8.1. Ударная волна"в^неоднородной трубе
259
pL - р0, ... не предполагаются малыми; ударная волна может иметь
произвольную интенсивность.
Линеаризованные уравнения имеют вид
Pt + "tP* + рtux -j- ('r) == О,
щ + щих+-^ рх= 0, (8.10)
Pt + Щрх-а\ (pt + ифх) = 0;
при этом для сокращения записи мы подразумеваем, что р( интерпретируется
как (р - px)t, А'(х) как {А (х) - А0}' и т. д. Поскольку это линейные
уравнения с постоянными коэффициентами, общее решение находится без
