Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
22а
где S (а-) = л/?2 (х) - площадь поперечного сечения тела на расстоянии х
от переднего конца. Интуитивно чувствуется, что US' (S) - скорость, с
которой возрастающая площадь поперечного сечения отталкивает жидкость, а
это и есть интенсивность источника. Итак, для заданного тела решение
имеет вид
ф=-j . х-Вг> о. (7.40)
^ J у (ж -- 1] )2 - Влг1
Компоненты возмущения скорости получаются надлежащим изменением равенств
(7.30):
Ф.=
U Г S" (t|) d.) 4
J Л/(X - Г1)2_?2Г2 ' 1
2л J j/(a;_r))2_B2r2
Ф =JL- [ (7 42)
' 2яг J у (ж - TJ)2-В2Г2
В линейной теории давление определяется по формуле (7.8). Однако
возникает интересный вопрос о применимости линейной теории, в особенности
по отношению к давлению. Точное выражение для давления в потенциальном
течении задается уравнением Бернулли (см. (6.157))
1=(^),",-,.= {1_^(г;фг1+4ф;Нф,)Г-"
Следовательно, поскольку а\ = ур01Ро,
^=-(г/Ф"+4-Фг+4-Фг) + ....
Если г не мало по сравнению с длиной тела, то Фж и Фг являются
относительно малыми величинами порядка 82, где б - относительная толщина
тела (определяемая как максимальный диаметр, деленный на длину). Тогда
линеаризация, при которой пренебрегают величинами Ф|- и Ф2, корректна.
Однако на поверхности тела г R (х) = О (б), и для малых г
ф - . us' (х) ф - . us" (ж) in г 1г 2л г ' 2л 1пг-
Следовательно, на поверхности тела
Фг=0(8), Фж = О (б2 In у) .
Отвлекаясь от члена In (1/6), который в практических ситуациях не слишком
велик, видим, что член 1/2Ф,2 так же важен, как и член Фж. Поэтому для
получения хорошего приближения для
7.5. Сверхзвуковое обтекание тела вращения
221
давления, видимо, следует взять формулу
= -t/(Dr -J-Ф?, (7.43)
Ро ^
а не формулу (7.8). Лайтхилл [1] и Бродерик [1], тщательно исследовав
приблшкения высших порядков, показали, что (7.43) верно с ошибкой О
(841п2(1/8)). В то же время следует выяснить вопрос о корректности
линейной теории, поскольку граничные условия накладываются в области, где
Ф,. и Фг имеют различный порядок. В цитированных работах показано, что
(7.41) и (7.42) действительно являются главными членами в разложении по
степеням малого параметра и что единственное существенное изменение
состоит в введении нелинейного соотношения (7.43).
Сопротивление
Сопротивление, вызванное возмущением давления, выражается •формулой
i
D= [ (р - р0) S'(x)dx, о
где интегрирование проводится по длине тела I. Вблизи тела имеем
ф--w | y,(Ti)ln 2(g7n)
О
'(см. (7.31)), а давление дается равенством (7.43). Отсюда для
сопротивления имеем
i
¦^=^S'(x){-S"{x)\nR(x) + о
+ir j 5-м1п1!ы141_^|й}*.
О
Поскольку S'^2nRR', первый и третий члены объединяются в
i
- j { S' (X) S" (х) In R (x) + R'(x)} dx,
0
и это дает
i
-\-?r{Ts,*WlaRw}dx==0
о
Гл. 7. Волновое уравнение
222
для тела с S' (0) = S' (Г) 0. После интегрирования по частям
второй член дает
I X
D=Н5Г~ J W J Мln -bho *>dx=
I I
PO U*
J j S' (x) S" (ц) ln -- dx dip (7.44)
4я J J ' ' \x - г] [
0 0
(Член с ln (2/В) при интегрировании дает нуль.) Эта знаменитая формула
для сверхзвукового сопротивления впервые получена Карманом и Муром [1] в
1932 г.
Поведение вблизи конуса Маха и на больших расстояниях
Волновой фронт определяется уравнением х - Вг = 0; это конус Маха,
образующие которого составляют угол arc sin (1 /М) с осью х. Когда (х -
Br)/(Br) 1, из равенств (7.32) п (7.33), должным образом преобразованных
для сверхзвукового течения, имеем
ф---
[ dip ?=х - Вг.
J lA-n ~
2л 1/2Вг J Vl-X]
0
Для компонент скорости получаем, следовательно,
ф UF^-Br)_ ф ив1^~Вг)_ х-Br i (745^
У2Вг У 2 Вг Вг ^ ^ ^ f
где
<7-46>
Итак, функции Фх и Фг имеют одинаковый порядок и для давления с точностью
до членов второго порядка имеем
Р-Ро F (х-Вг)
РсЕ72 У 2 Вг
(7.47)
Опять следует отметить, что поведение вблизи волнового фронта и на
больших расстояниях можно описывать одной общей формулой.
Если тело имеет острый носик с R' (0) = е, то S (х) ~ ле2.т2 для малых х
и тогда
F (I) ~ 2е2?Ч2 ПрИ 0. (7.48>
7.6. Задача Коши в двух и трех измерениях
223
На рис. 7.3 изображена типичная кривая F (?). Появление отрицательной
фазы типично даже для тела, имеющего форму снаряда, для которого
интенсивность источника US' (х) не меняет знака. Действительно, легко
показать, что
j F (?)<?= О,
о
и физическое объяснение в терминах потока массы аналогично объяснению для
сферических волн, приведенному в конце § 7.3.
Рис. 7.3. Типичная кривая F (|) для сверхзвукового обтекания
осесимметричного тела.
Можно заметить, что, согласно этой линейной теории, компоненты скорости и
давление непрерывны на конусе Маха. На самом же деле возникает ударная
волна, и мы встречаемся с важным явлением звукового удара. Этот эффект
упущен, поскольку он нелинеен. Теория звукового удара будет подробно
изучаться в гл.9.
/ .U. Задача Коши в двух п трех измерениях
Один из многочисленных "интегралов Пуассона", встречающихся в теории
уравнений в частных производных, дает решение волнового уравнения с
