Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Элементарные вопросы теории интерференции и дифракции хорошо изложены во
многих книгах, а более развитая теория все более и более становится полем
искусного применения "математического аппарата" и мало что дает для более
глубокого понимания природы волн.
С другой стороны, приближенная теория геометрической оптики содержит
ценные общие идеи, которые допускают обобщение на другие - как линейные,
так и нелинейные - задачи. Теория развивается здесь на примере волнового
уравнения, но указаны также обобщения на неоднородную среду и
анизотропные волны. Эти обобщения хотя и выходят за рамки обсуждения
уравнения (7.1), но естественно с ним связаны. Другие вопросы
геометрической оптики и развитие аналогичных идей в нелинейной теории
будут рассматриваться в следующих главах.
7.1. Области приложений волнового уравнения
Волновое уравнение (7.1) является основным уравнением в акустике, теории
упругости и электромагнетизме.
Акустика
Уравнения акустики были получены в § 6.6. Здесь они приводятся для
удобства ссылок. Уравнения газовой динамики линеаризуются для малых
возмущений однородного состояния, для которого и = 0, р = р0, р = р0 = р
(Ро).
7.1. Области приложений волнового уравнения
207
Скоростью распространения возмущений является
"о = Р'(ро), (7-2)
а сами возмущения выражаются через потенциал <р:
и = Уф, (7.3)
р - ро=-РоЧи (7-4)
Р -Ро=-§r"Pf (7-5)
а0
Подстановка в линеаризованное уравнение неразрывности приводит к
уравнению для <р:
Ф и = "оУ2ф. (7-6)
Линеаризованное сверхзвуковое течение
Формализм акустики можно использовать, когда возмущение вызвано
движущимся твердым телом. Для того чтобы возмущение оставалось малым, или
перемещения тела должны быть малыми (например, колебания мембраны
громкоговорителя), или тело должно быть очень тонким. Первое типично для
источника акустических волн, и необходимо решать уравнение с
соответствующими граничными условиями.
Случай тонкого тела, движущегося с произвольной постоянной скоростью,
связывает акустику с аэродинамикой. Если тело движется с постоянной
скоростью, то, очевидно, удобно перейти к движущейся системе координат,
связанной с телом. Пусть координаты (ж1? х2, х3) относятся к исходной
системе, в которой движение газа мало и описывается уравнениями (7.3)-
(7.6). Если тело движется со скоростью U в отрицательном направлении оси
хг и координаты (х, у, z) относятся к системе, неподвижной
относительно тела, то координаты преобразуются по формулам
х = хх + Ut, у = х2, z = х3.
Компоненты скорости в новой системе равны (U + иг, и2, и3), rjxeui =
dq/dxt. Далее, в новой системе координат течение является стационарным,
так что
ф (хг, х2, х3, t) = Ф (х, у, z) = Ф (хх + Ut, х2, х3).
Таким образом, уравнение (7.6) принимает вид
(М*-1)ФХХ=ФУУ+Ф22, м=^~, (7.7)
аО
а вместо (7.4) получаем
Р - Ро = - Ро*7Ф*- (7-8)
Гл. 6. Волновое уравнение
208
Компоненты скорости газа относительно тела равны
(U + Фх, Фу, Ф2). (7.9)
Для сверхзвукового течения М > 1 и определяющее уравнение снова является
волновым, но с меньшим числом переменных, причем х играет роль времени.
Эта аналогия уже была отмечена в § 6.16.
Теория упругости
Будем считать, что вывод волнового уравнения при элементарном
исследовании поперечных колебаний струны и мембраны, а также продольных и
крутильных волн в стержнях хорошо известен. Здесь мы рассмотрим вывод
волнового уравнения в полной трехмерной теории.
Движение упругого твердого тела можно описать в терминах смещения | (х,
t) точки из положения х в недеформированном состоянии. Удобно также
ввести X (х, t) = х + | (х, t) - новое положение в момент времени t.
Силы, действующие на поверхности деформированного тела, можно описать так
же, как и в случае жидкости (см. § 6.1), посредством тензора напряжений
pit. Если мы временно будем считать напряжение в деформированном
состоянии функцией текущей переменной X, то напряжения вызовут
результирующую силу на единицу объема, равную дрц/дХ]. Это следует из
теоремы о дивергенции точно так же, как и в случае жидкости. Однако
предыдущее "лагранжево" описание смещений (обычно более удобное в
упругости) связывает все величины с исходным недеформированным
состоянием. При этом результирующая сила на единицу объема
недеформированного состояния равна
Т dzk ЭРП 10)
дХ j ОХ),
где J-якобиан
г d (Xt, Ха, Х3) а ЛЛ\
Далее, производная dxJdXj равна JjhIJ, где J- алгебраическое дополнение
элемента дХj/dxh в определителе (7.11). Результирующая сила на единицу
объема недеформированного состояния (7.10) равна, таким образом,
дрп
дхь '
и уравнения движения имеют вид
d2Xt Т дРп
7.1. Области приложений волнового уравнения
209
Удлинение произвольного линейного элемента при переходе из
недеформированного состояния в деформированное определяется равенством
dX'i - dx) = -д~1 1 dxj dx,, - dx) =
1 OXj Ox,, j к j
= 2(-j,, dxjdxh,
где
__ 1 / дХ, dX, R
2 V dx, dx,, №)
= JL( C7
2 V dxj ' dx,, dxj dx,t j ' \ • /
В общем случае напряжения p}i зависят от деформаций ер, и от температуры.
