Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
р Но-p/v
4-Ы-^Ьг,- (5-")
5.7. Пример. Речные волны
135
Этот результат предсказывает нелинейное опрокидывание волнового фронта и
возникновение после этого ударной волны с разрывами самих функций uj.
Хотя это рассуждение об опрокидывании и критерий вида (5.43) ограничены
частным случаем волны с разрывной производной, они все же чрезвычайно
ценны, поскольку в данном случае все выкладки всегда можно провести в
явном виде. Функции р (?) и q (t), входящие в уравнение (5.38), зависят
только от коэффициентов aif и bt, и для решения этого уравнения вовсе не
требуется построение решения во всей плоскости течения. Непрерывный
профиль ведет себя несколько иначе, но мы получаем приблизительную оценку
величин производных, нужных для возникновения опрокидывания, а также
оценку времени образования разрыва. Вывести точный критерий опрокидывания
на основе явной формулы для непрерывного профиля оказывается, как
правило, невозможным.
5.7. Пример. Речные волны
В качестве интересного примера разложения вблизи волнового фронта
рассмотрим уравнения речных волн, обсуждавшиеся в § 3.2. Они имеют вид
ht -f- vhx -}- hvx - О,
, \ .г, -с г v2 (5'44>
Vt -г vvx + g hx - g S - Cf ¦
В равномерном потоке величины h = h0, v = v0 и g'S = Cfvl/h0 постоянны.
Волновой фронт имеет в этом случае постоянную скорость, так что положим ?
= х - ct. Решение за волновым фронтом ищем в виде рядов
h - /?о _Ь (t) -j- ~2 l2h2 (I) "Ь • • • > v = v0~r(t)+-Y^v2 (t)+ ... .
Подставляя эти разложения в уравнения (5.44) и последовательно
приравнивая члены с одинаковыми степенями ?, получаем
(v0-с) hi -)- h0vt = О, ё hi + (Ро-с) vi = 0;
(к0 с) hi h0v2 -(- -jl -(- 2vlhl - 0,
{ , о i "/О f 2^1
(5.45)
(5.46)
g'K + (Ко-с) к2 + ^ + к? + g'S (-^ -j±) = 0
м т. д. Из первых двух уравнений имеем
(с- v0f = g'h0r (5.47)
Гл. 5. Гиперболические системы
136
так что скорость распространения фронта волны составляет
c-=v0±Vg%; (5.48)
кроме того,
v (с-щ) (549>
П0
Соотношение (5.47) позволяет исключить из уравнений (5.46) h2 и г;2.
Полученное уравнение имеет вид
S'% + 2g'",h,+ (c-"0) {§-+^ + "'S (^-?) } =0.
Исключив Vi при помощи формулы (5.49), окончательно получим
f+4 (с-р") (с_г;о) (с-т v°) ik=°* (5-50)
Величина hx (г) совпадает с производной hx на волновом фронте. Рассмотрим
теперь различные частные случаи.
Волны на мелкой воде
В обычной теории мелкой воды в уравнениях (5.44) отсутствуют члены,
характеризующие наклон и трение, и уравнение (5.50) принимает вид
dhi 3 , , h\
-W=-2^C-V^K-
Волны, распространяющиеся вниз по течению (с = н0 + У gh0)"
опрокидываются, если hx <Г 0; волны, распространяющиеся вверх по течению
(с = v0 - |/gh0), опрокидываются, если hx > 0.
Паводковые волны
Для паводковых волн, распространяющихся вниз по течению, с = v о + У?К и
уравнение (5.50) записывается так:
?Г=--(* т=)К (5.51)
dt 2 У ho 1 и0 V 2Ye'ho'
Если vjYg'h0 >2, то линейный член указывает на экспоненциальное
возрастание независимо от знака hv Это свидетельствует о неустойчивости
равномерного потока при таких условиях и согласуется с результатом,
полученным из (3.41). Если же v0/Y?hо < 2, то линейный] член указывает на
экспоненциальное убывание, отвечающее устойчивости. Однако если hx (0) -<
0 и
5.7. Пример. Речные волны
137
то dhjdt <. О и hx --оо при конечном значении времени, что-соответствует
нелинейному опрокидыванию волнового фронта и образованию боры на фронте
волны. Это согласуется с анализом, проведенным в § 3.2, где было
показано, что достаточно сильной паводковой волне предшествует бора.
Для волны, распространяющейся вверх по течению, с = = v0 - V ё'К и
уравнение (5.50) принимает вид
Волна с положительным 1гл будет опрокидываться, если
Полученная оценка значения hx (0), приводящего к образованию боры,
особенно интересна ввиду того хорошо известного факта, что приливная бора
возникает лишь в сравнительно малочисленных реках с достаточно высокой
приливной волной в устье. Проведенный здесь анализ ограничен волновым
фронтом, тогда как для описания приливной боры более подходит
первоначально гладкий синусоидальный профиль. Однако при этом
обнаруживаются достоинства аналитического результата: можно в явном виде
установить зависимость от различных параметров, можно предсказать
асимптотическое поведение для больших величин х и t и т. д.!
В непрерывном случае, для которого нельзя получить аналитическое решение,
для установления четкого критерия могут потребоваться обширные численные
расчеты. Поэтому предложенный выше подход дает полезные оценки.
Действительно, Абботт [1], использовавший подобный анализ и детально
применивший его к реке Северн, обнаружил удивительно хорошее согласование
с наблюдениями. (Фактически Абботт в своей работе использовал теорию
высокочастотных приближений, но оба подхода математически эквивалентны.
Более того, последний подход менее оправдан, так как приливные изменения
являются низкочастотными и можно оспаривать утверждение, что
опрокидывание определяется только высокочастотными эффектами.)
