Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
точка берется с достаточно большим значением х (Р), чтобы характеристики
PQlt PQ2, PQs пересекали положительную полуось х, как показапо на
рисунке. В этом случае t (Qh) = 0. Если все rh первоначально известны как
функции от х при t = 0, то каждая с,, известна как функция от х, так что
для выбранного значения х (Р) уравнения (5.16) определяют х (Qh) для
каждого к. Тогда rh (Qh) и fh (Qk) вычисляются по первоначальным
значениям rh и уравнения (5.15) определяют rh (Р). Это верно для всех
точек Р, лежащих на прямой t = At, при условии, что они находятся справа
от точки W, определяемой отрезком OW характеристики, соответствующей
наибольшей скорости сг и проходящей через начало координат.
Гл. 5. Гиперболические системы
128
Эти вычисления можно повторить, давая времени последовательные
приращения. Например, в точке Р' значения rh находятся при помощи величин
Q\, Q2, Q3, которые были определены на предыдущем шаге. Так в принципе
можно построить решение в треугольной области, расположенной справа от
характеристики OW, если заданы значения всех rh на луче t = 0, х > 0.
Ясно также, что значения в точке Р' будут зависеть только от данных на
ограниченном точками Р[ и Р3 отрезке оси х, где Р'Р\ и Р'Р'3 -
характеристики, отвечающие самой большой и самой малой скорости
соответственно. Отрезок Р\Р3 представляет собой область зависимости для
Р'¦ Наличие области зависимости указывает на волновой характер решения.
Сигналы распространяются со скоростями сг, с2, с3, и только волны,
исходящие из точек, расположенных между Р\ и Р3, успевают достичь точки
Р'.
Для задачи с полными начальными значениями, когда при t = 0 заданы на
всей оси х, -со < х < со, описанное построение можно использовать для
доказательства теорем существования и единственности. Для установления
корректности постановки задачи нужно еще проверить, что решение устойчиво
(вопрос, которого мы здесь не касаемся).
Но вернемся к смешанной задаче с данными при t = 0, известными только для
х >¦ 0, и остальной информацией в виде данных на полуоси х = 0, t > 0.
Рассмотрим точку р на прямой t = At, расположенную слева от точки W, так
что две положительные характеристики пересекают ось t в точках дг и qv
Значение г3 (р) все еще определяется данными в точке q3, расположенной на
оси х. Действительно, точку р можно взять на самой оси t, а г3 все еще
будет определяться данными на оси х. Таким образом, величину г3 нельзя
произвольно задавать при х = 0. Для определения rt (р) и г2 (р)
потребуются значения гг, г2 и г3 в точках qx и q2. Значение г3 при х = 0
вычисляется, а не задается, но, очевидно, гх и г2 должны быть заданы. Для
последующих шагов по времени все повторяется. Например, в точке р'
значение г3 определяется данными в точке q'3; значения гг и г2
определяются по данным в точках q[ и q2, так что значения гг и г2 должны
быть заданы в этих точках. Таким образом, для корректно поставленной
задачи
ri> г2, г3 заданы при t = 0, х > 0,
г15 г2 заданы при х = 0, t >- 0.
Данные на оси х = 0 влияют на решение только в области левее
"волнового фронта" OWW'. Конечно, можно задавать и другие
эквивалентные данные, и в общем случае любые три условия при ? = 0и любые
два условия при х = 0 будут корректными. Единственное ограничение состоит
в том, что два условия, заданные на оси х = 0, не должны определять г3,
поскольку г3 определяется начальными условиями.
5.5. Разрывы производных
129
Полученные здесь результаты можно обобщить на п уравнений и другие
граничные условия. Из построения решения ясно, что число граничных
условий должно быть равно числу характеристик, направленных в
рассматриваемую область. Чтобы сделать термин "направленных" осмысленным,
следует для каждой характеристики определить положительное направление.
Когда t - время, зто направление обычно выбирается в сторону возрастания
t. Для определения положительного направления можно использовать другую
координату, т. е. х, или даже фупкцию от (х, t), но в каждом случае
правильность выбора граничных условий нуждается в проверке, аналогичной
проведенной выше.
Доказательства существования и единственности могут основываться на
итерациях интегральных соотношений, выражающих значение в точке в виде
интегралов по соответствующему характеристическому треугольнику
(например, Р'Р[Р'3 для Р' на рисунке 5.1). В целом построение аналогично
итерациям Пикара для обыкновенных дифференциальных уравнений. Здесь можно
сослаться на Куранта и Гильберта ([1], стр. 458).
В нелинейных задачах характеристические скорости ch являются функциями от
и, так что число условий, заданных на какой-либо границе, также может
являться функцией от и.
5.5. Разрывы производных
Нз проведенного выше построения решения видно, что характеристики несут
информацию с границы в рассматриваемую область. Физически характеристики
соответствуют волнам, распространяющимся со скоростями ck. Судя по этому
построению, в общем случае следует ожидать, что любое резкое изменение
