История теории эфира и электричества - Уиттекер Э.
ISBN 5-93972-070-6
Скачать (прямая ссылка):
содержащих заряды е, е! соответственно каждого рода электричества, равна
g^[-{(r • у') - (г • v)}2 + {(г • у') + (г • v)}2+ + {-(г • у') - (г •
у)}2 - {(-г • у') + (г • v)}2],
^Этот пример привел Гельмгольц, Journal fur Math. LXXV (1873), с. 33;
Phil. Mag. XLIV (1872), c. 530.
Математическая теория электричества
247
или
4ее'(г • v')(r • v)
Если ds, ds' обозначают длины элементов, & г, г' - токи в них, мы имеем
Следовательно, общая энергия г ds со всеми другими токами равна
i(ds • а) где а - векторный потенциал
Рассуждая подобно Нейману, можно показать, что электродвижущая сила,
индуцированная в ds при любом изменении в оставшейся части поля, равна
таким образом можно создать полную теорию индукционных токов.
Неизбежность появления индукционных токов можно вывести посредством
общего рассуждения из первых принципов теории Вебера. Когда контур s
движется в поле, созданном токами, скорость стеклянных зарядов в s (из-за
движения s) не равна по значению скорости смоляных зарядов и
противоположна ей по направлению; из-за этого возникает разность сил,
действующих на стеклянные и смоляные заряды в s, а значит, заряды
противоположного знака отделяются друг от друга и движутся в
противоположных направлениях.
Допущение о том, что положительные и отрицательные заряды движутся с
равными и противоположно направленными скоростями относительно материи
проводника, можно оспаривать по различным причинам, которые появятся
позднее, но оно является неотъемлемой
ids = 2ev, i'ds' = 2e'v';
так что общая энергия двух элементов тока равна
Ц^(г • ds,)(r • ds).
/
(г • ds')r
S'
248
Глава 1
частью теории Вебера, и исключить его из этой теории невозможно. В
действительности, если бы это условие не удовлетворялось и если бы
законом силы являлся закон Вебера, электрические токи прикладывали бы
силы к электростатическим зарядам, находящимся в 1
состоянии покоя , как это можно увидеть из следующего примера. Пусть ток
течет в замкнутом контуре, образованном дугами двух концентрических
кругов и отрезками радиусов, соединяющими их крайние точки. Тогда, если
бы закон Вебера был истинным и если бы двигался только один род
электричества, ток, очевидно, прикладывал бы электростатическую силу к
заряду, помещенному в центре кругов. Действительно, было показано^, что
допущения о том, что существуют противоположно заряженные рода
электричества, которые движутся с равной и противоположно направленной
скоростью в контуре, почти невозможно избежать в любой теории типа теории
Вебера, где принимается, что взаимодействие двух зарядов зависит только
от их относительного (в противоположность абсолютному) движения.
Закон Вебера - это далеко не единственный закон такого рода; альтернативу
этому закону предложил Бернгард Риман (1826-66), в курсе лекций, которые
он читал^ в Геттингене в 1861 году и которые после его смерти опубликовал
К. Хаттендорф. Риман предложил для электрокинетической энергии двух
электронов е(х, у, z) и е/(х/, у', z') выражение
_ 1 её_ Г f дх _ <9аА2 , (^У_ _ /V)2 , ( dz _ dz''12)
2 г 1Д Qt dt ) \dt dt ) \dt dt J Г
*Это замечание впервые сделал Клаузиус: Journal fur Math. LXXXII (1877),
с. 86; а простое доказательство, приведенное выше, дал Грассманн: Journal
fur Math. LXXXII I (1877), с. 57.
2Г. Лорберг Journal fur Math. LXXXIV (1878), c. 305.
^Schwere, Elektricitat und Magnetismus, nach den Vorlesungen von B.
Riemann (Ганновер, 1875), с. 326. Другую альтернативу закону Вебера
открыл Гаусс еще в 1835 г., но этот закон был опубликован только после
его смерти; см. Гаусс Werke, V, с. 616. Можно заметить, что функцию
Лагранжа в форме Римана можно было бы записать при включении
электростатического члена
Г\/1 - (v/c)2
где V обозначает относительную скорость; или в электростатической системе
единиц
ь = ее'
Гл/l - (v/c)2
Математическая теория электричества
249
или в электростатической системе единиц
2 г с2
ее'
к
ду ду ~dt ~ ~dt
Это выражение отличается от соответствующего выражения, данного Вебером,
только тем, что относительная скорость двух электронов поставлена на
место составляющей этой скорости, действующей вдоль радиус-вектора. В
конечном итоге, как мы увидим позже, и от закона Римана, и от закона
Вебера отказались в пользу третьей альтернативы.
Однако в то время открытие Вебера казалось большим шагом вперед; оно
действительно внесло большой вклад в пробуждение физиков-математиков,
которые ощутили возможности, скрытые в теории электричества. Кроме того,
влияние этого открытия почувствовали и в общей динамике:
электрокинетическую энергию Вебера, которая напоминала кинетическую
энергию в одном отношении, а потенциальную энергию - в другом, невозможно
было точно отнести ни к первой, ни ко второй; и введение этой энергии,
помогая разрушить различие, которое до тех пор существовало между двумя
частями кинетического потенциала, проложило дорогу для современ-
" 1
ного преобразования динамическом теории .
Работа Вебера стимулировала развитие еще одного предмета: теории
