Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
по начальным данным к (31,), заменим начальные данные (48,) - (48г)
следующими:
*°=0, у°= 0, (50,)
z'° = 0, у'" Щ0, (50")
где у'0 - произвольная малая постоянная (значение у'0 = 0 соответствует
решению, имеющему точку возврата). Нетрудно получить с помощью таких же
вычислений, какие были использованы в § 238, что в случае начальных
данных (50,) - (50z) имеем при t -> ±0
* (0 = (У'° + а) Р + y'*$t2 + о (IР |),
2 X (51)
у (2) = у'Ч + ( у'°у - -- а ]*" + о (121 з),
где постоянные а, р, у зависят только от чисел и°, U°v, UyV
и не зависят, следовательно, от параметра у'0. В частности, а( = 7гUx°)
имеет то же самое значение, что и в случае у'0 = 0 (поэтому а > 0 в силу
(49)).
Предположим, в частности, что у'0 - малое положительное
число. Тогда, поскольку а > 0, из (51) видно, что y(t) обраща-
§§ 227-240. СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
217
ется в нуль не только при t = 0, но также при некоторых малых
положительных и малых отрицательных значениях t, равных при малых у'0
приближенно корням квадратного уравнения
Поскольку y(t) обращается в нуль при t = 0 и также при двух значениях t,
близких к t - 0 и определяемых приближенно согласно (52), легко сделать
вывод, что при
подчиняется в силу соображений, основанных на непрерывности, правилу,
которое указывалось в § 238. Оно согласуется с формулами (51). Рис
3
Эти результаты становятся более понятными, если заметить, что кривая
нулевой скорости, соответствующая постоянной энергии h для решения (51),
не остается одной и той же при у'0 = 0 и при малых у'11 > 0.
Действительно, подстановка функций (51) в (312) показывает, что h =
h(y'°) -непрерывная функция, достигающая при у'0 = 0 экстремального
значения. Это справедливо также и при отрицательных значениях у'° (малых
по абсолютной величине). Для таких у'0 решение (51) уравнений (47) не
имеет ни петли, ни точки возврата. Так как кривая нулевой скорости
изменяется вместе с у'0, то становится понятным, почему решение (51)
имеет точку возврата только при у'0 - О,
Поэтому эти значения близки при у'0 -у
+0 к
(а = const > 0) (52)
малых положительных значениях постоян- У
ной интегрирования у'0 интегральная кривая (51) имеет небольшую петлю
(вырождающуюся в точку возврата при у'0 -у +0). Направление движения по
этой петле
ГЛАВА IV
ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
Орбиты §§ 241-257
Аномалии §§ 258-273
Разложения координат эллиптического движения в ряды Фурье §§ 274-
284
Разложения по степеням эксцентриситета §§ 285-299
Синодические координаты §§ 300-312
ОРБИТЫ
§ 241. Рассмотрим случай, когда U(r) - г-1 (см. § 218). Тогда
Z,= i(^ + y'2)+r-i,
Н = -(х'2 + у'2)-г~1
(1)
где г = (х2 -f- у2) '1г и импульсы Ьх>, Ьу> сводятся к скоростям х', у'.
Согласно (И,) -(113) § 211 уравнения движения и интегралы энергии и
площадей имеют вид
х" = - у" = - утт3, (2,)
* (*'2 + y'2)-r-i = fe, (2Z)
ху' - ух' = с. (23)
Исследование кривой, представляющей произвольную орбиту уравнений (2,)
на позиционной плоскости (х,у), может быть
проведено следующим образом.
Прежде всего из (2,), (2з) вытекает, что
су" = {хг-1У, сх" = (-уг*)',
откуда
су' = хг~1 А, сх'=-уг~' - В,
где А, В - постоянные интегрирования. Используя далее (2г), (23),
получим, что
А2 + В2 = 1 + 2Лс2, (3,)
с2 = Ах + By + г; г- (х2 + у2)',г. (Зг)
Очевидно, (Зг) есть уравнение конического сечения.
§§ 241-257. ОРБИТЫ
219
Для того чтобы упростить исследование этого конического сечения, заменим
постоянные (А, с) интегралов энергии и площадей эквивалентными
постоянными интегрирования (а, е) в случае с2 ^ 0, h ф 0, полагая
е=(1 +2Ac2)'/'S>0, а = (- 2А)-1, если h Ф О, р = с2 > О, если h = О,
где подкоренное выражение в формуле для е не может быть отрицательным *).
Действительно, из (3i) видно, что всегда 1 + 2Ас2 > 0.
§ 242. Из (3i) также видно, что та ветвь конического сечения, которая
может выродиться в полупрямую, проходящую через точку (х, у) = (0, 0),
имеет в этой точке фокус. При этом вырождение не имеет места тогда и
только тогда, когда с Ф 0. (Тот факт, что прямолинейное движение при А =
0 характеризуется значением с = 0, вытекает также из (2з)). Кроме того,
легко на основании (3i) и (4) установить, что 2а (=?0) и е(5г0) - большая
ось и эксцентриситет, ар - параметр конического сечения (32). Так как а и
-1 /А имеют согласно (4) один и тот же знак, то независимо от значения с
случаи эллипса, гиперболы или параболы характеризуются неравенствами А <С
0, А > 0 и равенством А = 0 соответственно. Следовательно, интегральная
кривая на плоскости (х, у) является замкнутой, если А <С 0. В этом случае
период решения x = x(t), у = y(t) пропорционален |А|_1/5, поскольку (см.
§ 160а) в данном случае (3м - 1 = -3/2. Из (4) видно, что эллипс
превращается в окружности тогда и только тогда, когда (см. (18i) § 216)
1 + 2 Ac2 = 0. (5)
Общие соотношения (4), (44) между постоянными интегрирования А Щ 0, с ^ 0
и геометрическими величинами а ^ 0, е ^ 0 или р ^ 0 таковы, что
е - 0, если (-2А)-1 = a = с2 > 0, (6)
