Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
определитель для Р всегда положителен, и в силу примечания в § 61
множитель любой матрицы С = Р также положителен. Следовательно, остается
лишь показать, что матрица С = О с множителем + 1 не может иметь
отрицательный определитель
или
(5)
§§ 57-64. КАНОНИЧЕСКИЕ МАТРИЦЫ
65
§ 62а. Так как любая матрица С - О с множителем + 1 имеет вид первой из
двух матриц (5), то очевидно, что если через F обозначить 2ге-матрицу
(комплексную, унитарную)
f_ 1 f (el У~1) (**)_ ),
Ц2п) \ (el) (eiy-1)/
то
FOF-* ¦ + (0)
= ('
(0) (<¦"'-6,'y-l)
Следовательно, det (FOF~l) равен произведению двух комплексносопряженных
чисел det (сц1 ± -1) и не может быть отрица-
тельным. Так как det (FOF~*) - det О, то формула (12) § 32 доказана.
§ 63. Если линейное преобразование у = Сх 2/г-вектора х = (Xj) в 2и-
вектор у = (уj) состоит из преобразования я-векторов р = = (pi) = \xi) и
q = (qi) = (Xi+Tl), представляющих импульсы и координаты, в
соответствующие я-векторы и= (щ) = (Уг), v= (и^) =(yi+п), то матрица С
будет полностью канонической тогда и только тогда, когда преобразование
координат контрградиентно *) преобразованию импульсов. Это ясно из
последнего замечания в § 48, но более непосредственно следует из § 60.
Действительно, легко проверить с помощью (1г), что (li) удовлетворяется
при
>) (6>
с = (ы (0)
V (0) (Ь*')
тогда и только тогда, когда __________________ (ак*)4 = (W) -1 **).
.*) Два линейных преобразования, определяемых матрицами А л В. называются
контрградиентными, если А = В' \ В частности, ортогональные матрицы и
только они определяют линейные преобразования, контрградиентные друг к
другу. Вообще, если мы переходим от "точечных координат" к "линейным
координатам", то следует заменить В на А = В'-1 См. также два соотношения
(31) § 25.
**) Приведем примеры матриц (а**), (&*'), 2п - 6, удовлетворяющих этому
условию:
/1 0 0\ /11 1\
(4) =1-1 о , (ь*)= о -1 -1 (7)
\о 1 - iy V0 0 V
или (если г2, )'з произвольны и г, ф 0)
/1 -П - гэ\ !тх гг г3\
(4)=J- ° Г1 о . (Ь*)= О 10. (8)
ri V0 О п) V0 0 1 /
Обобщение (7) или (8) на случай 2п 8 очевидно.
5 А. Уинтнер
66
ГЛАВА I. ДИНАМИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ
Если матрица (ал4) преобразования импульсов совпадает с матрицей (bkl)
преобразования координат, то имеем ("У)' = (<У)-1! т. е. га-матрица (<У)
= (?У) ортогональна (см. (15i) § 38).
§ 64. Пусть Q - симметрическая 2га-матрица частного вида
где Q' = Q, т. е. /У = гД sft4 = Sik.
Предположим далее, что по крайней мере одна из двух симметрических л-
матриц (/У), (У), например, (г**), является положительно определенной.
Тогда существует полностью каноническая матрица С такая, что матрица C'QC
имеет диагональную форму.
Для доказательства этого утверждения (являющегося основным в теории малых
колебаний) достаточно показать, что существуют две матрицы (сУ), (У),
удовлетворяющие условию (6), и что оба произведения
представляют собой диагональные матрицы. Однако поскольку (ту) -
положительно определенная матрица, то в соответствии с изложенным в § 59
существует неособенная симметрическая и положительно определенная матрица
(с*1'), для которой (У)2 = = (тУ)- Очевидно, что произведение (У) (У) (У)
представит симметрическую матрицу и может быть поэтому записано в виде
(А1) №Н/л')_1> гДе (Д4)-1 = (/л4)'- ортогональная, a (У4) - диагональная
матрицы. Следовательно, если положить (сУ} и (У) равными
то условие (6) удовлетворяется, матрица (Ю2) будет диагональной, a (10i)
представит единичную диагональную матрицу, что и доказывает приведенное
выше утверждение о свойствах произведений (10j), (102).
(9)
К4)'(ту) (aft4), (У)'(У) (У)
(10i)
(Ю2)
(aft4) = (Cft4)-'(/ft4), (bkl) = (У) (У),
§ 64а. Пусть матрица Q имеет опять вид (9), но относительно матриц (ту) и
(У) предположим, что они коммутативны. Тогда также можно утверждать о
существовании полностью канониче-
§§ 65-78. ВРАЩЕНИЯ
67
ской матрицы С такой, что произведение C'QC представит диагональную
матрицу.
Этот критерий (играющий в частном случае (/У) + (s*1) = (0) большую роль
в теории линейных вековых возмущений) также может быть доказан с помощью
выбора матрицы С частного вида (6). Действительно, последнее замечание в
§ 63 показывает, что достаточно доказать существование такой
ортогональной матрицы (а^1), для которой оба произведения (10i), (Юг)
представят диагональные матрицы, если только положить (Ък1) = (яьг).
Однако существование такой ортогональной матрицы (яй1) вытекает, как
известно, из предположения о том, что симметрические матрицы (tV)i (&V)
коммутативны.
ВРАЩЕНИЯ
§ 65. Для т + лг-скаляров a*, bi мы имеем очевидное тождест-
во
т
^если 2 = 2 ):
2 ai 2 ai bi
2 at bi 2 b?
(1)
откуда
(S"<<¦<)'<(S4)(S &!)•
Ниже мы будем рассматривать 3-векторы в евклидовом пространстве и
подразумевать, что при вращениях в этом пространстве (представляемых
ортогональными 3-матрицами, с З2 постоянными элементами и определителем,
равным +1) эти "векторы"
преобразуются по такому же закону, что и тензоры.
