Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
одновременному столкновению. Наконец, выбирая h < 0 и рассматривая
томографическое решение, используемое в § 421 для доказательства
утверждения (i), увидим, что решение может существовать при всех t от t =
-оо до i = -f-oo даже и тогда, когда имеет место бесконечно большое число
одновременных столкновений.
§ 431. Следует упомянуть, что, если существует инвариантная плоскость, т.
е. если С ф 0, то не только сам полярный момент инерции 7 =
p._1S*OTj7rafePjft положителен (это утверждение эквивалентно условию Min
(pi2, ргз, Рзг) = г > 0 при любом t (§ 335)), по также lim 7 > 0, т. е.
lim г > 0 при i->- ±°°- Доказательство этой теоремы, основанное на
неравенствах, приведенных в §§ 333- 334а, слишком длинное, и мы его
приводить здесь не будем *).
§ 431а. Обычно доказательство утверждения, сформулированного в § 426 (и
доказанного как при С ф 0, так и при С = 0 в §§ 427-429), основывается в
случае С ф 0 на теореме, рассмотренной в § 431. Заметим, однако, что эта
теорема неприменима при С = 0 к тем решениям, которые если и
соответствуют столкновениям при -оо < t < оо, то только парным.
*) Труден лишь случай h < 0, так как при h ^ 0 теорема легко доказывается
простым методом, применявшимся в §§ 332-332а.
27*
420
ГЛАВА V. ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ
§ 432. Из сформулированного в конце § 426 вытекает, что если решение
задачи трех тел не обладает непродолжаемыми особенностями (т. е. если С Ф
0), то регуляризующая переменная и, определяемая согласно (26) § 420а,
стремится монотонно к ±°° при t -*¦ ±оо.
В случае, когда С ф 0, теорема предыдущего параграфа дает всю
дополнительную информацию. Действительно, если применить непосредственное
аналитическое продолжение вдоль вещественной оси и, то тогда из
примечания в § 408 следует, что три барицентрических вектора положения
gi, рассматриваемых как функции переменной и, являются регулярными
аналитическими в полосе |Н(нУ-1) | < const вдоль вещественной оси на
комплексной плоскости и, причем R(z) обозначает вещественную часть г.
§ 432а. Если эта полоса |R(uV - 1) | < const отображена взаимно
однозначно и конформно на внутреннюю часть круга с единичным радиусом на
комплексной плоскости*) w, то, конечно, можно разложить g,- в степенные
ряды по w, сходящиеся при | w | < 1. В силу преобразований w = w(u) и и =
и (?) мы приходим к некоторым разложениям координат gi = справедливым при
- оо < t < оо. Этот факт, представляющий собой тривиальное повторение
чисто теоретико-функционального результата, указанного в § 432, часто
служит источником той неправильной формулировки, что если С ф 0, то
задача трех тел разрешима, поскольку координаты могут быть разложены в
ряды.
Оказывается, однако, что упомянутые ряды ввиду их крайне медленной
сходимости совершенно бесполезны для практических целей даже в таком
простом случае, как треугольное гомотетиче-ское решение.
§ 433. Из § 430 видно, что решения задачи трех тел являются вообще
(например, всегда, когда С ф 0) неограниченно продолжаемыми в указанном в
§ 119 смысле. Но тогда возникает вопрос о том, что фактически означают
полученные выше результаты с точки зрения "проблемы интеграции" уравнений
движения. Для того чтобы сформулировать ответ на этот вопрос, необходимо
возвратиться к исключению кинетического момента и количества движения
(центра масс).
§ 434. Приведение уравнений (9i) § 384 к виду (32) § 394 основывалось на
использовании интегралов площадей и движения центра масс, но не интеграла
энергии. Поэтому функция Гамиль-
*) Если const = я / 2, то это отображение описывается формулой
eu - 1
w -------..
е" + 1
§§ 426-440. ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
421
тона (33) § 394 содержит постоянную \С\ (модуль кинетического момента),
но не постоянную энергии h. Используя же дополнительно интеграл энергии Н
- h, где Н определяется согласно (33) § 394, можем исключить одну из 8
переменных I, Pj, i, рг, так что система (32) § 394 восьмого порядка
сводится к системе вида
zk' = Zft(zi,. .., z7), к = 1,..., 7,
где известные функции Zk переменных зависят от обеих постоянных |С|, h.
Так как эта система 7-го порядка не содержит явно f, то ее можно привести
к системе 6-го порядка, содержащей независимую переменную, причем роль
последней будет играть одно из Zk (при условии, что не все Zk(t)
=>const). Если же применить к (32) § 394 метод, изложенный в § 181, то
данная неконсервативная система 6-го порядка запишется в виде
гамильтоновой неконсервативной системы с тремя степенями свободы.
§ 435. В частности, если i = i(?) не остается постоянным вдоль
рассматриваемого решения, то согласно (18) § 181
Pi = -KH, рг = А'рг ? = 1,2, 3,
где
К = К{Pi, Pz, Рз, pi, рг, рз, h, IC'D
и точками обозначены производные по i. Эта гамильтонова
(неконсервативная) система с тремя степенями свободы является натуральной
формой уравнений движения в задаче трех тел, так как координатами служат
взаимные расстояния р,, а независимой переменной - наклонение переменной
плоскости П (?) трех тел по отношению к фиксированной плоскости II*,
