Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
§§ 355-368. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ КОНФИГУРАЦИИ 343
где штрихами и точками обозначены производные по t и t
соответственно. С помощью (18t) - (I82) и (15i) легко
установить,
что уравнения движения (1,) § 322 можно переписать в виде
(tm)|(Л|-4б*"45|)=иб|- (i9i)
где
1^=2-. р*=1ь-Ы. (10*)
pift
причем \1 = 11ги, U5i = Wg. Из (15i)_(152)j (18t) - (I82) также видно,
что интеграл энергии (2t) § 322 и эквивалентное ему соотношение (24) §
322 могут быть записаны в виде
4 s i_ 4^)-u=h ехр(-4 )¦
j - у J ^ J = 2U + 4ft exp(- 2 t) . (20*)
Наконец, применяя (I82) к функции / = J, получим, что (14i), (14г), (14э)
эквивалентны формулам
> 0, (21,)
i-*0, (21,)
J-^0 (21,)
при t -*¦ t° -f- 0 = +0> т- e. при t 00.
Полагая t-"-4-oo в (20г), где ft = const, увидим, что (17i)
р.ытекает из (21,) - (213). Вместе с тем согласно (17,) -
(21i) U
стремится к конечному пределу, так что (17г) вытекает из (19г). Во-
вторых, покажем, что при f ->-1-0, т. е. при t-^-j-oo,
(22,)
[ ii 1 < const, (222)
||,|< const. (223)
С этой целью заметим прежде всего, что из (15i) - (15г) получим
J = 2 (224)
И, сдедоратедьцо,
J = 2
34i
ГЛАВА V. ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ
Полагая t-^+oo в (20i) и учитывая (21г) и (17j), увидим, что Еттг,^2-"-
0. Это доказывает (22i). Кроме того,
| fi I < const, (23i)
I | < const. (23a)
Действительно, (23i) вытекает из (21j) в силу (224). В то же время (23г)
вытекает из (19г) и (17г), а (22г) и (22Д -из (23i) -(23г) и (19i)
соответственно. Наконец, дифференцируя (19i) по t и используя затем (22Д
- (22г), увидим, что для доказательства (22з) достаточно показать
ограниченность частных производных второго порядка функции U (gi,
при
t -у -(- оо. Однако ограниченность этих производных вытекает
с очевидностью из (23i), (19г), (17г).
В соответствии с (22Д и (223) тауберова лемма (см. § 362) применима к
функции g(u-) = g, Следовательно, не только gi ->- 0, но также gi ->- 0.
Поэтому из (19i) вытекает, что
->0
или (в силу (224))
-±J6{ + U6i->0.
Последнее соотношение в комбинации с (21Д и (17Д позволяет завершить
доказательство (16).
§ 365. Интерпретация (16) в связи с условиями (1) для центральной
конфигурации, приведенная в § 361, является весьма нечеткой. Там было
сказано лишь то, что в моменты t, очень близкие к моменту t°
одновременного столкновения, конфигурация тел весьма близка к центральной
конфигурации заданных /п-i, ¦ ¦ ¦, 77г". Однако отсюда не следует, что
при f-"-1° конфигурация тел должна стремиться к центральной конфигурации
заданных ти ..., тп. Как известно, возможным является и такое положение,
когда конфигурация становится при ближе и бли-
же к более чем одной центральной конфигурации заданных 77ii, • ¦ ¦, 7тг",
и при этом осциллирует между этими центральными конфигурациями. Конечно,
такая возможность не может осуществиться, если только п заданных ttij,
..., тп не определяют бесконечно большое число центральных конфигураций,
различных в смысле определения в § 355. В § 360 высказывалась
правдоподобная догадка, что этого никогда не может быть, т. е. что целое
число q(n, т.!, ..., тп), определенное в § 360, всегда существует, Однако
доказательства этого факта нет.
§§ 355-368. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ КОНФИГУРАЦИИ
345
§ 365а. Для тех п и mi,..., тп, для которых q (п, mit..., тп) < оо,
конфигурация должна стремиться при г -> f° к некоторой определенной
центральной конфигурации. Следовательно, если для данных mit..., тп
установлено, что q(n, mi,..., тп) < оо, то тогда и только тогда из (21i)
вытекает существование 1/гп(п - 1) пределов
О < °pift = lim pik < -foo, (24)
где pik = t~4iPih, t -> 0.
Действительно, величину J = t~*uJ можно представить согласно формулам §
322а в виде
2
j ^ m3mh.Pjh
S т<
где pift = ||j - | остаются ограниченными в силу (23i). По-
этому J не может стремиться к нулю. Между прочим,
Цо =
2 т,тк°р%
S mi
согласно (211) и в то же время
2 ч,' т,тк
7гЦо= ZS 1----------
9 °Pift
согласно (17j) и (19г).такчто
4 3 .2 /,2| mjmk\2 .
- Цо Zjmi - 2j m3mh Pjft^ J > (25i)
Ц0
Smi = 2 (25г)
§ 366. Заметим, что выражение (25i) для цо содержит только mi,..., тп и
отношения °р,-ь : 0р2з пределов (24). Эти отношения являются
алгебраическими функциями ти ..., тп, так как пределы (24) суть взаимные
расстояния для центральной конфигурации mt, ..., Топ-
Таким образом, согласно последнему замечанию в § 355 пределы (24)
определяются с точностью до общего положительного множителя, но в силу
(25i) и (25г) этот коэффициент определяется в данном случае единственным
образом массами mi, ..., тп, так как согласно (25i) цп - функция mi: ..
., тп.
346
ГЛАВА V. ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ
Поскольку
то можно найти также и положительную постоянную ро, существование которой
было установлено в § 335а.
§ 367. В качестве иллюстрации рассмотрим случай трех произвольных масс
mi, m2, т3. В этом случае предположение, высказанное в § 365а,
удовлетворяется, так как q (3, mi, m2, т3) ^ 4 при любых mi, т2, т3.
Действительно, согласно изложенному в § 359 существует лишь одна
